1. Tìm giao điểm của $C_m$ và $d:y=1$$y=1\Leftrightarrow x^3+3x^2+mx+1=1$
$\Leftrightarrow x^3+3x^2+mx=0$
$\Leftrightarrow x(x^2+3x+m)=0$
Ta đã có điểm $C(0,1)$ có hoành độ bằng $0$ , vậy hai điểm còn lại $D(a,1) , E(b,1)$ thỏa mãn $x_1 , x_2$ là hai nghiệm của phương trình
$x^2+3x+m=0 (1)$
$\triangle =9-4m\ge0\Leftrightarrow m\le \frac{9}{4}$
2. Khi hai tiếp tuyến vuông góc với nhau , chúng sẽ tạo với chiều dương trục hoành hai góc lệch nhau $90$ , $tan$ của hai góc này sẽ có tích bằng $-1$
$tan$ của góc này chính là giá trị đạo hàm
$y'=3x^2+6x+m$
$\Rightarrow (3a^2+6a+m)(3b^2+6b+m)=0$
Từ $(1)\Rightarrow a^2+3a=b^2+3b=-m$
$\Rightarrow 3a^2+9a=3b^2+9b=-3m$
$\Rightarrow 3a^2+6a=-3m-3a, 3b^2+6b=-3m-3b$
$\Rightarrow (-2m-3a)(-2m-3b)=-1=(2m+3a)(2m+3b)$
$\Rightarrow 4m^2+6m(a+b)+9ab=-1 (2)$
Áp dụng định lý Vieftee cho $(1)$ ta có
$a+b=-3 , ab=m$ Thế vào $(2)$
$4m^2-18m+9m=-1$
$\Rightarrow 4m^2-9m+1=0$
$\Rightarrow m=\frac{9\pm \sqrt{65}}{8}$