1. Tìm giao điểm của C_m và d:y=1y=1\Leftrightarrow x^3+3x^2+mx+1=1
\Leftrightarrow x^3+3x^2+mx=0
\Leftrightarrow x(x^2+3x+m)=0
Ta đã có điểm C(0,1) có hoành độ bằng 0 , vậy hai điểm còn lại D(a,1) , E(b,1) thỏa mãn x_1 , x_2 là hai nghiệm của phương trình
x^2+3x+m=0 (1)
\triangle =9-4m\ge0\Leftrightarrow m\le \frac{9}{4}
2. Khi hai tiếp tuyến vuông góc với nhau , chúng sẽ tạo với chiều dương trục hoành hai góc lệch nhau 90 , tan của hai góc này sẽ có tích bằng -1
tan của góc này chính là giá trị đạo hàm
y'=3x^2+6x+m
\Rightarrow (3a^2+6a+m)(3b^2+6b+m)=0
Từ (1)\Rightarrow a^2+3a=b^2+3b=-m
\Rightarrow 3a^2+9a=3b^2+9b=-3m
\Rightarrow 3a^2+6a=-3m-3a, 3b^2+6b=-3m-3b
\Rightarrow (-2m-3a)(-2m-3b)=-1=(2m+3a)(2m+3b)
\Rightarrow 4m^2+6m(a+b)+9ab=-1 (2)
Áp dụng định lý Vieftee cho (1) ta có
a+b=-3 , ab=m Thế vào (2)
4m^2-18m+9m=-1
\Rightarrow 4m^2-9m+1=0
\Rightarrow m=\frac{9\pm \sqrt{65}}{8}