Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng(1).

Question

Cho tứ diện

$OABC$ có

$OA,\,OB,\,OC$ cùng vuông góc với nhau từng đôi một. Kẻ

$OH\perp (ABC).$ Chứng minh:
a)

$AB\perp (OCH)$
b)

$H$ là trực tâm tam giác

$ABC$
c)

$\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}+\dfrac{1}{OC^2}$
d) Các góc của tam giác ABC đều nhọn

score 4 · Answer 1

b) Từ câu a ta suy ra

$AB \perp CH$ .
Chứng minh tương tự ta cũng có

$BC \perp (OAH)\Rightarrow BC \perp AH$ . Kết hợp hai điều này ta có đpcm.

score 4 · Answer 2

a) Do

$OA \perp OC, OB \perp OC$ nên

$OC \perp (OBA)\Rightarrow OC \perp AB$ .
Mặt khác thì dễ có

$OH \perp AB$ . Từ hai điều này có đpcm.

score 4 · Answer 3

c) Do

$OA \perp OB, OA \perp OC$ nên

$OA \perp (OBC)$ . Gọi

$AH$ cắt

$BC$ tại

$K$ trong mp

$(ABC)$ thì suy ra

$OA \perp OK.$ Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông này ta được

$\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OK^2}=\dfrac{1}{OH^2} \qquad (1)$
Mặt khác,

$BC \perp AH, BC \perp OH$ nên

$BC \perp (OAH)\Rightarrow BC \perp OK.$ Tiếp tục áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông

$OBC$ ta được

$\dfrac{1}{OB^2}+\dfrac{1}{OC^2}=\dfrac{1}{OK^2} \qquad (2)$
Kết hợp

$(1)$ và

$(2)$ ta được

$\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}+\dfrac{1}{OC^2}=\dfrac{1}{OH^2}$

3 Đáp án