Bất Đẳng Thức (CM có đk đề bài)

Question

Cho

$x, y, z > 0$ thỏa mãn

$xy+yz+xz =1$

CMR:

$\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} + \frac{y}{\sqrt{y^{2}+1}} + \frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}\leq \frac{3}{2}$

DÙNG CÔ-SI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC QUEN THUỘC PHẢI KO A.H! Nhưng mình lại lúng túng với những dữ kiện đề bài cho: xy yz xz=1 !!
Làm bài này thế nào, lý giải cách làm!! Và với những bài như thế này thường nghĩ theo hướng nào, tất nhiên là mỗi bài sẽ có cách giải riêng của nó nhưng sẽ thường sử dụng cái gì để giải... Phiền giải đáp giúp! ***

score 5 · Answer 1

Đây là bài tập liên quan đến dạng lượng giác. Để chứng minh bài này cần hai bài toán phụ sau đây. Bạn thử sức với nó nhé.

$\bf Bài toán phụ 1$ :

$A, B, C>0$ là ba góc của một tam giác khi và chỉ khi

$\tan \dfrac{A}{2}\tan \dfrac{B}{2}+\tan \dfrac{B}{2}\tan \dfrac{C}{2}+\tan \dfrac{C}{2}\tan \dfrac{A}{2}=1$

$\bf Bài toán phụ 2$ :

$A, B, C$ là ba góc của một tam giác thì ta có BĐT

$\sin \dfrac{A}{2}+\sin \dfrac{B}{2}+\sin\dfrac{C}{2} \le \dfrac{3}{2}$
Quay trở lại bài toán ban đầu. Vì hàm

$\tan$ là hàm có miền giá trị thoải mái nên có thể đặt

$x=\tan \dfrac{A}{2},y=\tan \dfrac{B}{2}z=\tan \dfrac{C}{2}$ . từ điều kiện

$xy+yz+zx=1$ và

$\bf Bài toán phụ 1$ ta suy ra

$A, B, C$ là ba góc của một tam giác.
Tiếp tục sử dụng

$\bf Bài toán phụ 2$ ta suy ra

$\sin \dfrac{A}{2}+\sin \dfrac{B}{2}+\sin\dfrac{C}{2} \le \dfrac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \tan \dfrac{A}{2} \cos \dfrac{A}{2}+\tan \dfrac{B}{2} \cos \dfrac{B}{2}+\tan \dfrac{C}{2} \cos \dfrac{C}{2}\le \dfrac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} + \dfrac{y}{\sqrt{y^{2}+1}} + \dfrac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}\leq \frac{3}{2}$ ,đpcm.
Đẳng thức xảy ra

$\Leftrightarrow \triangle ABC$ đều

$\Leftrightarrow x=y=z=1/\sqrt 3.$

Hãy ấn chữ V dưới chữ đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks!

score 4 · Answer 2

Ta có

$xy +yz +xz=1$

$\Leftrightarrow x^{2} +xy +yz +xz=x^{2} +1$

$\Leftrightarrow x^{2} +1=x(x+y) + z(x+y)$

$\Leftrightarrow x^{2} +1=(x+y)(x+z)$
Do đó:

$\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}=\sqrt{\frac{x.x}{(x+y)(x+z)}} \leq \frac{1}{2}\left ( \frac{x}{x+y} +\frac{x}{x+z}\right )$ (Theo Cô-si)
tương tự:

$\frac{y}{\sqrt{y^{2}+1}} \leq\frac{1}{2}\left ( \frac{y}{y+x} +\frac{y}{y+z}\right )$

$\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}} \leq\frac{1}{2}\left ( \frac{z}{z+x} +\frac{z}{z+y}\right )$
Cộng theo vế, ta được

xx2+1−−−−−√+ yy2+1−−−−−√+zz2+1−−−−−√≤ 32.1 (Đpcm)

$($ Đẳng thức xảy ra: x=y=z=1/3√.)

2 Đáp án