|
|
Đây là bài tập liên quan đến dạng lượng giác. Để chứng minh bài này cần hai bài toán phụ sau đây. Bạn thử sức với nó nhé.
$\bf Bài toán phụ 1$: $A, B, C>0$ là ba góc của một tam giác khi và chỉ khi
$\tan \dfrac{A}{2}\tan \dfrac{B}{2}+\tan \dfrac{B}{2}\tan \dfrac{C}{2}+\tan \dfrac{C}{2}\tan \dfrac{A}{2}=1$
$\bf Bài toán phụ 2$: $A, B, C$ là ba góc của một tam giác thì ta có BĐT
$\sin \dfrac{A}{2}+\sin \dfrac{B}{2}+\sin\dfrac{C}{2} \le \dfrac{3}{2}$
Quay trở lại bài toán ban đầu. Vì hàm $\tan$ là hàm có miền giá trị thoải mái nên có thể đặt
$x=\tan \dfrac{A}{2},y=\tan \dfrac{B}{2}z=\tan \dfrac{C}{2}$. từ điều kiện $xy+yz+zx=1$ và $\bf Bài toán phụ 1$ ta suy ra
$A, B, C$ là ba góc của một tam giác.
Tiếp tục sử dụng $\bf Bài toán phụ 2$ ta suy ra
$\sin \dfrac{A}{2}+\sin \dfrac{B}{2}+\sin\dfrac{C}{2} \le \dfrac{3}{2}$
$\Leftrightarrow \tan \dfrac{A}{2} \cos \dfrac{A}{2}+\tan \dfrac{B}{2} \cos \dfrac{B}{2}+\tan \dfrac{C}{2} \cos \dfrac{C}{2}\le \dfrac{3}{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} + \dfrac{y}{\sqrt{y^{2}+1}} + \dfrac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}\leq \frac{3}{2} $,đpcm.
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \triangle ABC$ đều $\Leftrightarrow x=y=z=1/\sqrt 3.$
|