|
|
Đây không gọi là định nghĩa, chỉ gọi là mệnh đề thôi em nhé. Và mệnh đề này được phát biểu chính xác như sau
Nếu $f(x) = f(x+a) \implies f(x) = f(x+na) \quad \forall n \in \mathbb Z$ và $x,x+na \in$ miền xác định của $f$.
trước hết ta chứng minh điều trên đúng với $n \ge 0.$
Thật vậy, $n=0, n=1$ thì hiển nhiên đúng.
Giả sử đúng với $n=k \ge 2$, tức là $ f(x) = f(x+ka) $.
Ta có $ f(x+(k+1)a) =f(x+ka+a)=f(x+ka)= f(x) $, do đó theo nguyên lý quy nạp thì điều này được chứng minh xong với $n \ge 0.$
Ta chứng minh nốt $f(x)=f(x-ma)$ với $m > 0.$ Điều này cũng đúng vì
$f(x)=f(x-ma+ma)=f(x-ma)$, theo trên vì $m>0.$
Vậy ta có đpcm.
|