|
|
Điều kiện $x \ge 3.$ BPT
$\iff m(x-1) \leq \sqrt{x-3}+1$
$\iff m \leq \dfrac{\sqrt{x-3}+1}{x-1}=f(x)$
Ta có $f'(x)=-\dfrac{x+2\sqrt{x-3}-5}{2\sqrt{x-3}(x-1)^2}=-\dfrac{(\sqrt{x-3}+1)^2-3}{2\sqrt{x-3}(x-1)^2}$
Suy ra $f'=0 \iff (\sqrt{x-3}+1)^2-3=0\iff x=(\sqrt 3-1)^2+3=7-2\sqrt 3$
Chú ý rằng $f(3)=\dfrac{1}{2}, \mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty}f(x)=0$. vẽ bảng biến thiên cho hàm $f$ với chú ý $f$ đổi dấu từ dương sang âm nên
$\max f(x) = f(7-2\sqrt 3)= \dfrac{\sqrt{3}}{6-2\sqrt 3}= \dfrac{1}{2\sqrt 3-2}$
Vậy chỉ cần $m \le \max f(x) = \dfrac{1}{2\sqrt 3-2}$
|