|
|
Áp dụng BĐT Cô-si ta có
$2a (1-a)^2 =2a (1-a)(1-a) \le \left ( \dfrac{2a +(1-a)+(1-a) }{3}\right )^3=\dfrac{8}{27}$
$\implies a (1-a)^2 \ge \dfrac{4}{27} \implies \sqrt a(1-a) \le \dfrac{2}{3 \sqrt 3} $
$\implies \dfrac{\sqrt a}{1 -a } \ge \dfrac{3\sqrt 3}{2}a \qquad \qquad (1)$
Tương tự như vậy
$ \dfrac{\sqrt b}{1 -b } \ge \dfrac{3\sqrt 3}{2}b \qquad \qquad (2)$
$ \dfrac{\sqrt c}{1 -c } \ge \dfrac{3\sqrt 3}{2}c \qquad \qquad (3)$
Cộng theo từng vế $(1),(2),(3)$ và sử dụng giả thiết $a+b+c=1$ ta có đpcm.
dấu bằng xảy ra $\iff a=b=c=1/3$
|