|
|
Để phương tình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình $t^2-2(m+2)+2m+3$ (*) phải có 2 nghiệm dương phân biệt $t_1,t_2$ (Các nghiệm của phương tình ban đầu sẽ là $\sqrt{t_1},-\sqrt{t_1},\sqrt{t_2},-\sqrt{t_2}$)
điều này có nghĩa là
$(m+2)^2-2m-3>0 \Leftrightarrow m^2+2m+1=(m+1)^2>0 \Leftrightarrow m\neq -1 $ (1)
và $m+2>0 \Leftrightarrow m>-2$ (2)
Gọi $a$ là nghiệm dương bé nhất của phương tình ban đầu, khi đó $-a$ cũng là nghiệm của pt đó, vậy 4 nghiệm tạo thành CSC có công sai là $a-(-a)=2a$ vậy 4 nghiệm của pt ban đầu là $-3a,-a,a,3a$
Vậy phương tình (*) có 2 nghiệm là $a^2$ và $9a^2$
Vậy suy ra $\begin{cases}2(m+2)=10a^2 \\ 2m+3=9a^4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}4(m+2)^2=100a^4\\ 2m+3=9a^4 \end{cases} \Rightarrow\frac{2m+3}{4m^2+16m+16}=\frac{9}{100}$
$\Rightarrow\begin{cases}m=3 \\ m=-13/9 \end{cases}$
2 nghiệm này đều thỏa mãn (1) và (2) vậy $m=3$ hoặc $m=-13/9$
|