Giúp mình bài quy nạp này với !!!

Question

CMR với mọi số nguyên dương n. $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{n^2}<2-\frac{1}{n}$

score 5 · Answer 1

Ta sẽ chứng minh: $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{n^2}<2-\frac{1}{n},\forall n\in\mathbb{N^*},n\ge2$. (*)
Với $n=2$, ta có: $1+\frac{1}{4}<2-\frac{1}{2}$, đúng.
Giả sử $(*)$ đúng với $n=k,k\ge2$, hay $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{k^2}<2-\frac{1}{k}$
Ta sẽ chứng minh $(*)$ đúng với $n=k+1$.
Thật vậy,
$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{(k+1)^2}$
$<2-\frac{1}{k}+\frac{1}{(k+1)^2}$
$<2-\frac{1}{k}+\frac{1}{k(k+1)}$
$=2-\frac{1}{k}+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$
$=2-\frac{1}{k+1}$, đpcm.
Vậy theo nguyên lý quy nạp, ta có: $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{n^2}<2-\frac{1}{n},\forall n\in\mathbb{N^*},n\ge2$.

score 1 · Answer 2

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

Đề bài phải là $n\geq 2$ Có một cách làm đơn giản hơn nhiều, ta có;
$\frac{1}{k^2}<\frac{1}{(k-1)k}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$
Áp dụng điều này thì:
$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2} \leq 1+(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+....+(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})=2-\frac{1}{n}$

Ta đã chứng minh xong bài toán