Dãy số(4).

Question

Cho dãy số

$(U_n)$ biết

$U_n=\dfrac{2}{n^2+4n+3}$ và dãy

$(S_n):\,\left\{ \begin{array}{l} S_1=U_1\\ S_{n+1}=S_n+U_{n+1} \end{array} \right.\,n\in\mathbb{N^*}.$ Xác định công thức tính

$(S_n)$ theo

$n$ .

score 5 · Answer 1

Thực chất

$S_n$ xác định như sau

$S_n = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n-1} + u_{n} \quad \forall n \ge 1.$
Ta có

$U_n = \dfrac{2}{(n+1)(n+3)}=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+3} \quad \forall n$
do đó

$U_1 =\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}$

$U_2 =\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}$

$U_3 =\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6}$

$\cdots$

$U_{n-1} =\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+2}$

$U_{n} =\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+3}$
Cộng theo từng vế các đẳng thức này ta được

$S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n-1} + u_{n}=\left (\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\ldots+\dfrac{1}{n+1} \right )-\left (\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\ldots+\dfrac{1}{n+3} \right )$

$S_n=\left (\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3} \right )-\left (\dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{n+3} \right )=\dfrac{n (13+5 n)}{6 (2+n) (3+n)}\quad \forall n \ge 1.$

score 5 · Answer 2

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

Ta có:

$S_n=\sum_{k=1}^n U_n$

$=\sum_{k=1}^n \frac{2}{n^2+4n+3}$

$=\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}\right)$

$=\frac{5}{6}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}$

lịch sử

Hỏi	16-01-13 05:21 PM
Lượt xem	2796
Hoạt động	16-01-13 06:03 PM

Dãy số(4).

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Dãy số(4).

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan