Gọi α là trung bình cộng của n số
- Ta cần chứng minh
Dấu bằng xảy ra khi α = xi Với mọi i ∈ {1, . . . , n}.
Ta dùng quy nạp
Với n = 1 hiển nhiên
Giả sử : ĐPCM đúng với n số
Xét với n + 1 số thực không âm. Trung bình cộng α bằng:
Nếu mọi số đều bằng α, ta có ngay ĐPCM. Giả sử có 1 số lớn hơn α khi đó có một số nhở hơn α, Giả sử (khôngmấttính tổng quát) xn > α và xn+1 < α. Khi ấy
Bây giờ, xét n số x1, . . . , xn–1, y với
Khi ấy
α cũng là tổng của n số x1, . . . , xn–1, y và theo giả thuyết quy nạp thì
Từ (*) ta có
hay
- Vậy từ (**) và (***) suy ra:
Ta đã chứng minh xong cho n+1 số => ĐPCM
Còn với bất đẳng thức bunhia thì
Xét ( a1.x - b1)^2 >= 0
..........
( an.x - bn)^2 >= 0
Giải ra cộng vế với vế thu được
x^2 ( a1^2 + ..... + an^2) - 2x( a1.b1 + ...... + an.bn) + ( b1^2 + ..... + bn^2) >= 0
đặt A = ( a1^2 + ..... + an^2)
B = ( a1.b1 + ...... + an.bn)
C = ( b1^2 + ..... + bn^2)
bdt trên đúng với mọi x nên x^2.A - 2x .B + C có delta = 4B^2 - 4AC <= 0 => B^2 <= AC ( dpcm)