|
|
Đặt $t=1+x^{2}\Rightarrow $ $\begin{cases}dt=2xdx \\x=1 \rightarrow t=2 \\ x=2 \rightarrow t=5 \end{cases}$
Ta có
$I = \int\limits_{1}^{2} (x^{3} +x)\ln (1+x^{2})dx =\dfrac{1}{2} \int\limits_{2}^{5} t\ln tdt $
Áp dụng công thức tích phân từng phần
Đặt $\begin{cases}u=\ln t \\ v=tdt \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}du=\dfrac{1}{t}dt \\ v=\dfrac{1}{2}t^2 \end{cases}$
Do đó
$I =\dfrac{1}{2} \int\limits_{2}^{5} t\ln tdt =\dfrac{1}{4}t^2\ln t|_{2}^{5} - \dfrac{1}{4} \int\limits_{2}^{5} tdt =\dfrac{1}{4}\left[ {t^2\ln t-\dfrac{1}{2}t^2} \right]_{2}^{5}=\boxed{-\dfrac{21}{8}-\ln 2 +\dfrac{25}{4}\ln 5}$
|