Đặt t=1+x2⇒ {dt=2xdxx=1→t=2x=2→t=5Ta có I=2∫1(x3+x)ln(1+x2)dx=125∫2tlntdtÁp dụng công thức tích phân từng phầnĐặt {u=lntv=tdt⇒{du=1tv=12t2Do đóI=125∫2tlntdt=14t2lnt|52−145∫2tdt=14[t2lnt−12t2]52=−218−ln2+254ln5
Đặt
t=1+x2⇒ {dt=2xdxx=1→t=2x=2→t=5Ta có
I=2∫1(x3+x)ln(1+x2)dx=125∫2tlntdtÁp dụng công thức tích phân từng phầnĐặt $\begin{cases}u=\ln t \\ v=tdt \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}du=\dfrac{1}{t}
dt \\ v=\dfrac{1}{2}t^2 \end{cases}
DođóI =\dfrac{1}{2} \int\limits_{2}^{5} t\ln tdt =\dfrac{1}{4}t^2\ln t|_{2}^{5} - \dfrac{1}{4} \int\limits_{2}^{5} tdt =\dfrac{1}{4}\left[ {t^2\ln t-\dfrac{1}{2}t^2} \right]_{2}^{5}=\boxed{-\dfrac{21}{8}-\ln 2 +\dfrac{25}{4}\ln 5}$