|
|
Đặt $\ln x=t\Rightarrow \frac{1}{x}dx=dt\Rightarrow dx=e^tdt$.
Đổi cận: $x=1\;\Rightarrow t=0$
$x=e^\pi\Rightarrow t=\pi$
Ta có: $I=\int\limits_0^\pi e^t\cos tdt=\int\limits_0^\pi\cos td(e^t)$
$=e^t\cos t\left|\begin{array}{I}\pi\\0\end{array}\right.-\int\limits_0^\pi e^td(\cos t)$
$=-e^\pi-1+\int\limits_0^\pi e^t\sin tdt$
$=-e^\pi-1+\int\limits_0^\pi \sin td(e^t)$
$=-e^\pi-1+(e^t\sin t)\left|\begin{array}{I}\pi\\0\end{array}\right.-\int\limits_0^\pi e^td(\sin t)$
$=-e^\pi-1-\int\limits_0^\pi e^t\cos tdt=-e^\pi-1-I$
$\Rightarrow I=\frac{-e^\pi-1}{2}$
|