Một số phương trình lượng giác khó và hay.

Question

$\fbox{Bài toán 1.}$ Giải phương trình:

$a)\,\sin^3x+\cos^3x=2-\sin^4x\\b)\,\sin x+\sqrt{2-\sin^2x}+\sin x\sqrt{2-\sin^2x}=3\\c)\,\sin x+\tan\dfrac{x}{2}=2$

$\fbox{Bài toán 2.}$ Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình:

$\cos\pi\left(x^2+2x-\dfrac{1}{2}\right)=\sin\pi x^2$

score 4 · Answer 1

$\cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \pi \left( {{x^2} + 2x} \right)} \right] = \sin \left( {\pi {x^2}} \right)$

$\Leftrightarrow \sin \left[ {\pi \left( {{x^2} + 2x} \right)} \right] = \sin \left( {\pi {x^2}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \pi \left( x^2 + 2x \right) = \pi x^2 + k2 \pi \\ \pi (x^2 + 2x) = \pi - \pi x^2 + k2\pi \end{matrix}} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x = k \in \mathbb{Z} \\ 2x^2 + 2x - \left( 2k + 1 \right) = 0 \end{matrix}} \right.$

$\left( {\text{*}} \right)$
Do

$\begin{cases}\left( {\text{*}} \right) \\x{\text{ > }}0 \\k \in \mathbb{Z} \\\end{cases}$ suy ra

$x=\frac{-b +\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1 +\sqrt{4k+3}}{2}$
Để

$x$ dương và nhỏ nhất với

$k \in \mathbb{Z}$ và

$4k+3 \ge 0$ thì cần

$k=0.$
Vậy

$\min x = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{2}$

score 4 · Answer 2

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

Bài toán 1:
c)
Điều kiện:

$\cos\frac{x}{2}\ne0$
Đặt:

$t=\tan\frac{x}{2}$ , phương trình trở thành:

$\frac{2t}{1+t^2}+t=2$

$\Leftrightarrow 2t+t(1+t^2)=2(1+t^2)$

$\Leftrightarrow t^3-2t^2+3t-2=0$

$\Leftrightarrow (t-1)(t^2-t+2)=0$

$\Leftrightarrow t=1$

$\Leftrightarrow \tan\frac{x}{2}=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}.$

score 4 · Answer 3

Bài toán 1:
b)
Áp dụng BĐT Cauchy và Bunhia ta có:

$(1.\sin x+1.\sqrt{2-\sin^2x})^2\le(1^2+1^2)(\sin^2x+2-\sin^2x)=4$

$\Rightarrow \sin x+\sqrt{2-\sin^2x}\le2$

$\sin x\sqrt{2-\sin^2x}\le\frac{\sin^2x+2-\sin^2x}{2}=1$
Suy ra:

$\sin x+\sqrt{2-\sin^2x}+\sin x\sqrt{2-\sin^2x}\le3$
Dấu bằng xảy ra khi:

$\sin x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}$ .

score 4 · Answer 4

Bài toán 1:
a)
Vì:

$-1\le\sin x,\cos x\le1$
nên:

$\left\{ \begin{array}{l} \sin^3x\le\sin^2x\\ \cos^3x\le\cos^2x \end{array} \right.\Rightarrow \sin^3x+\cos^3x\le\sin^2x+\cos^2x=1$
Mà:

$2-\sin^4x\ge1$
Dấu bằng xảy ra khi:

$\left\{ \begin{array}{l} \sin^3x=\sin^2x\\ \cos^3x=\cos^2x\\\sin^4x=1 \end{array} \right.\Leftrightarrow\sin x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}$

score 4 · Answer 5

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

Bài toán 2:

$\cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \pi \left( {{x^2} + 2x} \right)} \right] = \sin \left( {\pi {x^2}} \right)$

$\Leftrightarrow \sin \left[ {\pi \left( {{x^2} + 2x} \right)} \right] = \sin \left( {\pi {x^2}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \pi \left( x^2 + 2x \right) = \pi x^2 + k2 \pi \\ \pi (x^2 + 2x) = \pi - \pi x^2 + k2\pi \end{matrix}} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x = k \in \mathbb{Z} \\ 2x^2 + 2x - \left( 2k + 1 \right) = 0 \end{matrix}} \right.$

$\left( {\text{*}} \right)$
Do

$\begin{cases}\left( {\text{*}} \right) \\x{\text{ > }}0 \\k \in \mathbb{Z} \\\end{cases}$ suy ra

$\min x = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{2}$

lịch sử

thaks nha – gaara.sshn 14-11-12 10:12 PM

like and vote nha – duachua.no1 14-11-12 09:55 PM

vote cho đáp án – luffykunneu 14-11-12 08:19 PM

like cho đáp án – banhquykeomut 14-11-12 08:15 PM

Cái chỗ ra min x em không hiểu ạ, vậy anh chọn k=0 để giải pt rồi xem nghiệm nào nhó nhất luôn hả anh – Xusint 14-11-12 07:15 PM

Hỏi	14-11-12 12:37 PM
Lượt xem	11872
Hoạt động	15-11-12 09:20 PM

Một số phương trình lượng giác khó và hay.

5 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Một số phương trình lượng giác khó và hay.

5 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan