Kí hiệu PT đã cho là (1).
+) Nếu n=1 thì (1) trở thành sinx+cosx=1 có nghiệm
x=k2π và x=π2+k2π với k∈Z.
+) Nếu n=2 thì (1) trở thành cosx=1 có nghiệm x=k2π.
+) Nếu n>2 thì đặt VT là vế trái của (1). Ta có:
VT≤|sinxsin2x…sinnx|+|cosxcos2x…cosnx|≤|sinxsin2x|+|cosxcos2x|
≤max{|sinxsin2x+cosxcos2x|,|sinxsin2x−cosxcos2x|}=max{|cosx|,|cos3x|}≤1.
Do đó để (1) có nghiệm thì |cosx|=1 hoặc |cos3x|=1.
Nếu |cos3x|=1 thì sin3x=0, suy ra cosxcos2x…cosnx=1, suy ra |cosx=1|. Vậy ta chỉ cần xét |cosx|=1 hay x=k2π hoặc
x=(2k+1)π.
Dễ thấy x=k2π là nghiệm của phương trình đã cho. Xét x=(2k+1)π:
Nhận thấy sintπ=0 và costπ=(−1)t với mọi t∈Z. Do đó (1) tương đương với:
(−1)n(n+1)2=1⇔4∖n(n+1).
Kết luận: Nếu n=4t hoặc n=4t−1 thì (1) có nghiệm là x=kπ,k∈Z.
Nếu n=4t+1 hoặc n=4t+2 thì (1) có nghiệm là x=k2π,k∈Z.