|
|
a) Ta có:
$a^3(b^2-c^2)+b^3(c^2-a^2)+c^3(a^2-b^2)>a^3(b^2-c^2)+a^3(c^2-a^2)+a^3(a^2-b^2)=0$.
b) KMTTQ, giả sử $a\geq 1\geq b$. Xét hàm số $f(x)=(x-1)\ln x$ trên $(0,2)$.
Ta có: $f'(x)=1-\frac{1}{x}+\ln x$ đồng biến trên $(0,2)$.
Vì $f(x)$ thỏa mãn điều kiện của định lý Rolle trên $(0,2)$ nên ta có:
$f(a)-f(1)=(a-1)f'(c)$ với $c\in [1,a]$.
$f(1)-f(b)=(1-b)f'(d)$ với $d\in [b,1]$.
Trừ hai đẳng thức trên vế theo vế, chú ý $a-1=1-b$ và $f'(x)$ đồng biến trên $(0,2)$ ta được:
$f(a)+f(b)=(a-1)(f'(c)-f'(d))\geq 0$.
Khi đó $(a-1)\ln a+(b-1)\ln b\geq 0$ hay $a^ab^b\geq ab.$
c) Xét $f(a)=a^2+(c-d\sqrt{3})a+b^2+c^2+d^2+bd+bc\sqrt{3}$.
Ta có $\Delta =(c-d\sqrt{3})^2-4(b^2+c^2+d^2+bd+bc\sqrt{3})=-(2b+d-c\sqrt{3})^2\leq
0$.
Do đó $f(a)\geq 0$ hay $a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd\geq (ad-bc)\sqrt{3}=\sqrt{3}$.
|