Chứng minh bất đẳng thức:

Question

a) Nếu

$a<b<c$ thì

$a^{3}(b^{2}-c^{2})+b^{3}(c^{2}-a^{2})+c^{3}(a^{2}-b^{2})<0$
b) Nếu

$a,b>0$ và

$a+b=2$ thì

$ab<a^{a}.b^{b}$
c) Nếu

$ad-bc=1$ thì

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+ac+bd \geq \sqrt{3}$

với ý tưởng đơn giản thì câu 1 không cần biến đổi gì cả
câu 1 thì nhóm NTC dầu tiên ta nhứng cái j nhóm được (b-c) xong rồi nhóm tiếp (a-b) rồi ..... xong đc BĐT

score 2 · Answer 1

a) Ta có:

$a^3(b^2-c^2)+b^3(c^2-a^2)+c^3(a^2-b^2)>a^3(b^2-c^2)+a^3(c^2-a^2)+a^3(a^2-b^2)=0$ .

b) KMTTQ, giả sử

$a\geq 1\geq b$ . Xét hàm số

$f(x)=(x-1)\ln x$ trên

$(0,2)$ .
Ta có:

$f'(x)=1-\frac{1}{x}+\ln x$ đồng biến trên

$(0,2)$ .
Vì

$f(x)$ thỏa mãn điều kiện của định lý Rolle trên

$(0,2)$ nên ta có:

$f(a)-f(1)=(a-1)f'(c)$ với

$c\in [1,a]$ .

$f(1)-f(b)=(1-b)f'(d)$ với

$d\in [b,1]$ .
Trừ hai đẳng thức trên vế theo vế, chú ý

$a-1=1-b$ và

$f'(x)$ đồng biến trên

$(0,2)$ ta được:

$f(a)+f(b)=(a-1)(f'(c)-f'(d))\geq 0$ .
Khi đó

$(a-1)\ln a+(b-1)\ln b\geq 0$ hay

$a^ab^b\geq ab.$

c) Xét

$f(a)=a^2+(c-d\sqrt{3})a+b^2+c^2+d^2+bd+bc\sqrt{3}$ .
Ta có

$\Delta =(c-d\sqrt{3})^2-4(b^2+c^2+d^2+bd+bc\sqrt{3})=-(2b+d-c\sqrt{3})^2\leq 0$ .
Do đó

$f(a)\geq 0$ hay

$a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd\geq (ad-bc)\sqrt{3}=\sqrt{3}$ .

kinh khủng quá,tại sao bác lại nghĩ ra cái hàm kia,dù sao cũng cảm ơn bác – dat.to.hung.vuong94 02-11-12 10:46 PM

câu 2 dùng cả lagrang ư? mình chưa nghĩ tới nó vì chưa đc học. @@ – nguyenlinhkhang1995 02-11-12 10:22 PM

caau1 rõ ràng vấn đề. phải nhóm NTC chứ – nguyenlinhkhang1995 02-11-12 10:21 PM

đọc xong thấy hơi khó hiểu :((( – duachua.no1 02-11-12 09:55 PM

oh , lời giải đây rồi – duachua.no1 02-11-12 09:55 PM

1 Đáp án