|
|
Đặt
$x=\frac{a}{a+b}=\frac{1}{1+\frac{b}{a}}=\frac{1}{1+m}$
tương tự $y=\frac{1}{1+n}, z=\frac{1}{1+p}$.
Trong đó $mnp=1$ và $m,n,p>0.$
Ta cần tìm GTNN của
$x^2+y^2+z^2=\frac{1}{(1+m)^2}+\frac{1}{(1+n)^2}+\frac{1}{(1+p)^2}$
Trước hết bạn từ chứng minh BĐT sau coi như bài tập nhé
$\frac{1}{(1+m)^2}+\frac{1}{(1+n)^2} \ge \frac{1}{1+mn}$.
Vì nó tương đương với $mn(m-n)^2+(mn-1)^2 \ge 0$
Đẳng thức xảy ra khi $m=n=1$.
Như vậy ta có
$\frac{1}{(1+m)^2}+\frac{1}{(1+n)^2}+\frac{1}{(1+p)^2} \ge \frac{1}{1+mn}+\frac{1}{(1+p)^2}=\frac{p}{p+1}+\frac{1}{(1+p)^2}=\frac{p^2+p+1}{(1+p)^2}$
Viêc còn lại là đi chứng minh
$\frac{p^2+p+1}{(1+p)^2} \ge \frac{3}{4}\Leftrightarrow \frac{(p-1)^2}{4(p+1)^2} \ge 0$, luôn đúng.
Vậy GTNN cần tìm là $\frac{3}{4}\Leftrightarrow m=n=p=1\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}$.
|