|
|
Đặt
x=aa+b=11+ba=11+m
tương tự y=11+n,z=11+p.
Trong đó mnp=1 và m,n,p>0.
Ta cần tìm GTNN của
x2+y2+z2=1(1+m)2+1(1+n)2+1(1+p)2
Trước hết bạn từ chứng minh BĐT sau coi như bài tập nhé
1(1+m)2+1(1+n)2≥11+mn.
Vì nó tương đương với mn(m−n)2+(mn−1)2≥0
Đẳng thức xảy ra khi m=n=1.
Như vậy ta có
1(1+m)2+1(1+n)2+1(1+p)2≥11+mn+1(1+p)2=pp+1+1(1+p)2=p2+p+1(1+p)2
Viêc còn lại là đi chứng minh
p2+p+1(1+p)2≥34⇔(p−1)24(p+1)2≥0, luôn đúng.
Vậy GTNN cần tìm là 34⇔m=n=p=1⇔a=b=c=12.
|