|
|
Ta chứng minh: $f(x)\le f'(c)(x-c)+f(c)$, với mọi $x,c\in\mathbb{R}$ (1)
Thật vậy:
*) Với $x=c$, hiển nhiên đúng.
*) Với $x<c$, áp dụng định lý Lagrange ta có:
$\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=f'(d), d\in(x;c)$
Mà: $f'$ giảm trên $\mathbb{R}$ nên: $f'(d)>f'(c)$ , suy ra:
$f(x)-f(c)<(x-c)f'(c)$ do $x<c$.
*) Với $x>c$, tương tự.
Vậy (1) được chứng minh.
Đặt $c=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^na_i$. Ta có: $f(x)\le f'(c)(x-c)+f(c)$, với mọi $x,c\in\mathbb{R}$
Chọn $x=a_i$ ta có:
$f(a_i)\le f'(c)(a_i-c)+f(c)\Rightarrow \frac{1}{n} f(a_i)\le \frac{1}{n} f'(c)(a_i-c)+ \frac{1}{n} f(c)$
Lấy tổng ta được:
$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(a_i)\le
\frac{1}{n}f'(c)\sum_{i=1}^{n}a_i-cf'(c)+f(c)=cf'(c)-cf'(c)+f(c)=f(c)$
Hay: $
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(a_i)\le f(
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^na_i)$ , đpcm.
|