|
|
Ta chứng minh mệnh đề trên bằng quy nạp:
Khi $n=1$, mệnh đề hiển nhiên đúng
Khi $n=k+1$, ta có:
$\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{2k-1}{2k}.\frac{2k+1}{2(k+1)}<\frac{1}{\sqrt{2k+1}}. \frac{2k+1}{2(k+1)}=\frac{1}{\sqrt {2k+3}}.\frac{\sqrt{2k+3}}{\sqrt{2k+1}}.\frac{2k+1}{2(k+1)}$
$=\frac{1}{\sqrt{2k+3}}.\sqrt{\frac{(2k+3)(2k+1)^2}{(2k+1)(2k+2)^2} } $
$=\frac{1}{2k+3}.\sqrt{\frac{4k^2+8k+3}{4k^2+8k+4} } $
Vì $\frac{4k^2+8k+3}{4k^2+8k+4}<1 $ nên từ đó suy ra: $\frac{1}{2}.\frac{3}{4}...\frac{2k+1}{2(k+1)}<\frac{1}{\sqrt{2(k+1)+1}} $
Tức là $(1)$ đúng khi $n=k+1$
Vậy mệnh đề trên đúng với mọi $n$.
|