Câu 2
$BN\cap BN=B(1;1)$
Gọi $M'$ là điểm đối xứng với $M$ qua $BD\rightarrow M'\in BC$
$MM'  \begin{cases}qua     M(2;\frac{1}{2}) \\ vuông   BD \end{cases}     MM' :x-y-\frac{3}{2}=0$
Gọi $MM'\cap BD=I(\frac{7}{4};\frac{1}{4})\rightarrow I$ là trung điểm $MM'\rightarrow M'(\frac{3}{2};0)$
$AB: x+2y-3=0            BC: 2x+y-3=0$
Ta có $cos(\widehat{AB;BC})=\frac{4}{5}\rightarrow sin\widehat{ABC}=\frac{3}{5}$
Áp dụng định lí sin ta có

$\frac{AC}{sin\widehat{ABC}}=2R\rightarrow AC=3$

Gọi $A(3-2a;a)\in AB   C(b;2b-3)\in BC\rightarrow N(\frac{3-2a+b}{2};\frac{a+2b-3}{2})$
Mặt khác $N\in BN\rightarrow -3a+14b-21=0  (1)$
Có $AC^2=(b+2a-3)^2+(2b-a-3)^2=9 (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có $\begin{cases}a= \\ b= \end{cases}$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

$(S): x^2+y^2+z^2=1$ có tâm    $O(0;0;0) ;R=1$
Gọi $B(0;b;0)=(P)\cap Oy  C(0;0;c)=(P)\cap Oz   (b;c>0)$
$=>(P): \frac{x}{\sqrt2} + \frac{y}{b}  +\frac{z}{c}=1$hay $xbc+\sqrt2cy+\sqrt2bz-\sqrt2bc=0$
$(P)$ tiếp xúc với $(S)\Rightarrow |\sqrt2bc|=\sqrt{(bc)^2+2(b^2+c^2)}                (1)$
$\overrightarrow{AB}(-\sqrt2;b;0)                          $
$\overrightarrow{AC}(-\sqrt2;0;c)$
$\Rightarrow |[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]|=|bc+\sqrt2c+\sqrt2b|=4\sqrt2                    (2)$
Từ $(1) (2)\begin{cases}b+c=2\sqrt2 \\ bc=2 \end{cases}\begin{cases}b=\sqrt2 \\ c=\sqrt2 \end{cases}$

Gọi $B(2a-4;a)\in d         ( $ĐK:$a>2)$
$==>AB=\sqrt {10}\Leftrightarrow (2a-5)^{2}+a^{2}=10$
$==>a=1<L>$hoặc $a=3<Tm>$.
Với $a=3==>B(2;3) $
$BI: 2x+y-7=0$ trung điêm $H(3/2;3/2)$ của $AB$
$IH: x+3y-6=0 ==>BI\cap HI=I(3;1)$
$(C) (x-3)^2+(y-1)^2=5$

$2\sqrt{x-1}+\sqrt{5x-1}=x^2+1$

Ta có $k=\pm 9$
Toạ độ tiếp điểm là nghiệm                        $y'=3x^2-6x=k(*)$
$.k=-9 $  <Vô nghiệm>
$.k=9    (*)\Leftrightarrow x=3 \vee   x=-1$
  PTTT  $y=k(x-x_0)+y_0$
Phương trình tiếp tuyến
$y-9x+25=0 $             hoặc  $y-9x+7=0 $

Gọi $I$ đối xứng với $B$ qua $d$ nên$==>IB:x+y-3=0==>H(2;1)==>I(0;3)$
Gọi $A(a+1;a)\in d==>C(-2-a;4-a)$ 
Ta có $\overrightarrow{IA}(a+1;a-3)$ ; $\overrightarrow {CI}(2+a;-1
+a)$ mà A,C,I thẳng hàng
$==>\frac{a+1}{2+a}=\frac{a-3}{-1+a}==>a=-5==>A(-4;-5);C(3;1)$

$y'=x^2+2ax+4(*)$
ycbt$\Leftrightarrow y'>0  \vee x\in R\Leftrightarrow \begin{cases}\Delta'=a^2-4<0 \\ 1>0\end{cases}\Leftrightarrow a\in(-2;2)$

$y'=3.(2+sin2x^2)^2.(2+sin2x^2)'=6.sin4x.(2+sin2x^2)^2$