Giải hệ $\begin{cases}x^2+y^2+\frac{8xy}{x+y}=16 \\ \sqrt{x+y}=x^2-y \end{cases}$

Ta có $(C)$  có $I(1;2)         R=1$
Gọi $\Delta:a(x-1)+by=0$ là tiếp tuyến của (C) và đi qua A
$==>d(I;\Delta)=R\Leftrightarrow \left| {\frac{2b}{\sqrt{a^2+b^2}}} \right|=1==>a=\sqrt3b$ hoặc $a=-\sqrt3b$
$==>\Delta_1:\sqrt3x+y-\sqrt3=0        ==>VTPT    \overrightarrow {n_1}(\sqrt3;1)$
             $\Delta_2:\sqrt3x-y-\sqrt3=0    ==>VTPT   \overrightarrow{n_2}(\sqrt3;-1)$
$(\widehat{\Delta_1;\Delta_2})=(\widehat{n_1;n_2})=60^0$

Xét tứ giác HECD có$\widehat{CEH}+\widehat{HDC}=180^0=>$tứ giác nội tiếp
$==>\widehat{ECH}=\widehat{EDH}$  $cmtt==>\widehat{EBA}=\widehat{ADF}$(tứ giác HFBD nội tiếp )
                                                           $==>\widehat{ACF}=\widehat{EBA}$(tứ giác ÈBC nội tiếp)
Tứ ba điều trên$==>\widehat{EDH}=\widehat{ADF}$ hay AD là tia phân giác của$\widehat{EDF}$

ta có $\begin{cases}-x^2y+2xy^2+3y^3=4(x+y)    (1) \\ xy(x^2+y^2)-xy+(x^2+y^2)-1=0  (2) \end{cases}$
Xét $(2)$ ta có $xy(x^2+y^2)-xy+(x^2+y^2)-1=0\Leftrightarrow (x^2+y^2-1)(xy+1)=0$
$==>x^2+y^2=1$   hoặc  $xy=-1$
Xét $(1)\Leftrightarrow (x+y)(3y^2-xy)=4(x+y)==>x+y=0$  hoặc  $3y^2-xy=4$
$==>\begin{cases}x^2+y^2=1 \\ x+y=0 \end{cases}$hoặc$\begin{cases}x^2+y^2=1 \\ 3y^2-xy=4 \end{cases}$hoặc$\begin{cases}xy=1 \\ x+y=0 \end{cases}$hoặc$\begin{cases}xy=1 \\ 3y^2-xy=4 \end{cases}$
KL....

pt$\Leftrightarrow 16x^2-48x-8=8\sqrt{4x+5}\Leftrightarrow 16x^2-32x+16=4(4x+5)+8\sqrt{4x+5}+4$

Ta có $y=(x-m)^3-3x+1\rightarrow y'=3(x-m)^2-3=0\Leftrightarrow x=1\pm m$
ĐK $\exists$ cực trị $m\neq 0$
Mà $\forall m\neq 0$  thì  $1-m<1+m  \rightarrow x_{CD}=1-m$
$\rightarrow A(1-m;(1-2m)^3+3m-2)  \rightarrow d: y=(1-2m)^3+3m-2\rightarrow B(0;(1-2m)^3+3m-2)$
Ta có $S_{ \Delta ABO}=1/2d(o;d).AB=6....$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

gọi $A(a;0)   B(0;b)  ==>d:\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$
 ta có $\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{5}$
 d tiếp xúc với(C)  $==>$khoảng cách từ $I(5;5)$ đến $d = R =\sqrt{20}$ hay $\frac{| \frac{5}{a}+\frac{5}{b}-1|}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}}=\sqrt{20}$
$==>\begin{cases} \frac{5}{a}+\frac{5}{b}=3\\ \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{5} \end{cases}$==>$\begin{cases}a=5 \\ b=2,5 \end{cases}  hoặc \begin{cases}a=2,5 \\ b=5 \end{cases}$
hoặc $\begin{cases}\frac{5}{a}+\frac{5}{b}=-1 \\ \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{5} \end{cases}==>....$