Ta có :$\sqrt{4y^2+1}-1=0\iff y=0$
Nếu y=0. Từ pt(2)=> x=2. Thử lại vô lí
Vậy $y\ne 0=>\sqrt{4x^2+1}-1\ne 0$
Khi đó $pt(1)\iff (\sqrt{x^2+1}-4x^2y+x)(\frac{4y^2}{\sqrt{4y^2+1}})=8x^2y^3$
$\iff (\sqrt{x^2+1}-4x^2y+x)\frac{1}{\sqrt{4y^2+1}-1}=2x^2y$
$\iff \sqrt{x^2+1}-4x^2y+x=2x^2y\sqrt{4y^2+1}-2x^2y$
$\iff \sqrt{x^2+1}-2x^2y\sqrt{4y^2+1}+x-2x^2y=0$
$\iff \sqrt{x^2+1}-x\sqrt{4y^2+1}+x\sqrt{4y^2+1}-2x^2y\sqrt{4y^2+1}+x-2x^2y=0$
$\iff \frac{x^2+1-x^2(4y^2+1)}{\sqrt{x^2+1}+x\sqrt{4y^2+1}}+\sqrt{4y^2+1}(x-2x^2y)+(x-2x^2y)=0$
$\iff (1-2xy)(\frac{1+2xy}{\sqrt{x^2+1}+x\sqrt{4y^2+1}}+x\sqrt{4y^2+1}+x)=0$
Ta đi cm nhân tử thứ hai vô nghiêm. Thật vậy:
Xét x=0, từ pt(2)=> VN
Do đó $x\ne 0$
Khi đó $pt(2)\iff y=\frac{x-2}{x^3}$
Nếu x>2=> y>0 => nhan tử thứ hai luôn dương
Nếu x<0=>y<0=>kết hợp với pt(1)=> nhan tử thứ hai luôn âm
Nếu 0<x<2=>y<0=> kết hợp với pt(1)=>nhan tử thứ hai luôn âm
nhân tử thứ hai luôn vô nghiệm
Vậy ta luôn có: 2xy=1. Đến đây bạn tự làm tiếp nhé.