bài này

Question

\begin{cases}(\sqrt{x^{2}+1}-4x^{2}y+x)(\sqrt{4y^{2}+1}+1)=8x^{2}y^{3} \\ x^{2}y-x+2=0 \end{cases}

score 5 · Answer 1

Dễ thấy điều kiện của hệ là $x,y\in R$.

Kí hiệu (1) và (2) lần lượt là phương trình đầu và cuối của hệ. Kiểm tra dễ dàng và có $x=0$ hoặc $y=0$ không thỏa mãn hệ.

Xét $x,y\neq 0$.

Khi đó (1) tương đương với $\frac{1}{x^2}\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{x}=\frac{8y^3}{\sqrt{4y^2+1}+1}+4y$;

hay $\frac{1}{x^2}\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{x}=2y(\sqrt{4y^2+1}-1)+4y$;

hay $\frac{1}{x^2}\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{x}=2y\sqrt{4y^2+1}+2y$ (3).

Dễ thấy rằng $\frac{1}{x^2}\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{x}>0$; cho nên từ (3) suy ra $y>0$.

Biến đổi tương đương (2) thì được $y=\frac{x-2}{x^3}$ (4).

Vì $y>0$ và $x\neq 0$ nên $8x^2y^3>0$.

Từ (1) suy ra $\sqrt{x^2+1}-4x^2y+x>0$; kết hợp với (4) thì được $\sqrt{x^2+1}-4+\frac{8}{x}+x>0$;

hay $\sqrt{x^2+1}>4-\frac{8}{x}-x$. Kết quả này cho thấy nếu $x>0$.

(Vì nếu $x<0$ thì $4-\frac{8}{x}-x>1-x>\sqrt{x^2+1}$).

Như vậy $x,y>0$, và do đó (3) tương đương với $\frac{1}{x}\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}+\frac{1}{x}=2y\sqrt{4y^2+1}+2y$ (5).

Vì hàm số $f(t)=t\sqrt{t^2+1}+t,\forall t>0$ có $f'(t)=\sqrt{t^2+1}+\frac{t^2}{\sqrt{t^2+1}}+1>0,\forall t>0$ nên $f$ đồng biến trên $(0;+\infty)$.

Từ đó (5) tương đương với $f(\frac{1}{x})=f(2y)$; hay $\frac{1}{x}=2y$; hay $y=\frac{1}{2x}$ (6).

Từ (4) và (6) suy ra $\frac{1}{2x}=\frac{x-2}{x^3}$; hay $x^2-2x+4=0$, và dễ thấy phương trình này vô nghiệm.

Vậy, hệ đã cho vô nghiệm.

tritanngo99 · Answer 2 · 5/14/2016 8:14:17 PM

Ta có :$\sqrt{4y^2+1}-1=0\iff y=0$

Nếu y=0. Từ pt(2)=> x=2. Thử lại vô lí

Vậy $y\ne 0=>\sqrt{4x^2+1}-1\ne 0$

Khi đó $pt(1)\iff (\sqrt{x^2+1}-4x^2y+x)(\frac{4y^2}{\sqrt{4y^2+1}})=8x^2y^3$

$\iff (\sqrt{x^2+1}-4x^2y+x)\frac{1}{\sqrt{4y^2+1}-1}=2x^2y$

$\iff \sqrt{x^2+1}-4x^2y+x=2x^2y\sqrt{4y^2+1}-2x^2y$

$\iff \sqrt{x^2+1}-2x^2y\sqrt{4y^2+1}+x-2x^2y=0$

$\iff \sqrt{x^2+1}-x\sqrt{4y^2+1}+x\sqrt{4y^2+1}-2x^2y\sqrt{4y^2+1}+x-2x^2y=0$

$\iff \frac{x^2+1-x^2(4y^2+1)}{\sqrt{x^2+1}+x\sqrt{4y^2+1}}+\sqrt{4y^2+1}(x-2x^2y)+(x-2x^2y)=0$

$\iff (1-2xy)(\frac{1+2xy}{\sqrt{x^2+1}+x\sqrt{4y^2+1}}+x\sqrt{4y^2+1}+x)=0$

Ta đi cm nhân tử thứ hai vô nghiêm. Thật vậy:

Xét x=0, từ pt(2)=> VN

Do đó $x\ne 0$

Khi đó $pt(2)\iff y=\frac{x-2}{x^3}$

Nếu x>2=> y>0 => nhan tử thứ hai luôn dương

Nếu x<0=>y<0=>kết hợp với pt(1)=> nhan tử thứ hai luôn âm

Nếu 0<x<2=>y<0=> kết hợp với pt(1)=>nhan tử thứ hai luôn âm

nhân tử thứ hai luôn vô nghiệm

Vậy ta luôn có: 2xy=1. Đến đây bạn tự làm tiếp nhé.

2 Đáp án