|
|
|
|
giải đáp
|
Bài này có bao nhiêu cách???
|
|
|
|
Xét các vecto : $\overrightarrow{u}=(x;\frac{1}{x}) ;\overrightarrow{v}=(y;\frac{1}{y}) ; \overrightarrow{w}=(z;\frac{1}{z})$
Có : $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} +\overrightarrow{w} =(x+y+z;1/x +1/y + 1/z)$
Theo t/c về độ dài của vt tổng : $|\overrightarrow{u}|+|\overrightarrow{v}|+|\overrightarrow{w}| \geq | \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} |$ (1)
$P \geq \sqrt{(x+y+z)^{2} +( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}}$
=> Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow \overrightarrow{v} ,\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{w} $ là các vt cp , cc
$\Leftrightarrow \begin{cases} \overrightarrow{u}=k_{1}\overrightarrow{v},k_{1} >0 \\ \overrightarrow{v}=k_{2}\overrightarrow{w}, k_{2} >0 \end{cases}$
Dễ thấy : $ 81(x+y+z)^{2} +( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2} \geq 162$
$gt : 0<x+y+z \leq 1\Rightarrow 80(x+y+z)^{2} \leq 80 $
All $\Rightarrow P \geq \sqrt{162-80}=\sqrt{82}$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1/3$
|
|
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Tìm m để hpt có nghiệm
|
|
|
|
Hpt $\Leftrightarrow \begin{cases}(x^{2}-x)(2x-y)=m\\ (x^{2}-x)+(2x-y)=1-2m \end{cases}$ Đặt : $u=x^{2}-x , u \geq -1/4 ; v=2x-y$ Giải thích: do $u=(x-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}\geq \frac{-1}{4}$
Hpt $\Leftrightarrow \begin{cases}uv=m \\ u+v=1-2m \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}u^{2}+(2m-1)u+m=0 (*) \\ v=1-2m-u \end{cases}$
Để hpt có nghiệm $\Leftrightarrow (*) tm u \geq -1/4$
Ta có : $(*) \Leftrightarrow m(2u+1) =-u^{2}+u\Leftrightarrow m=\frac{-u^{2}+u}{2u+1}$
Xét hàm số : $f(u)=\frac{-u^{2}+u}{2u+1}$ $( \forall u \geq -1/4)$
Có : $f'(u)=-\frac{2u^{2}+2u-1}{(2u+1)^{2}} , f'(u)=0\Leftrightarrow u=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
Lập bbt $\Rightarrow m \leq \frac{2-\sqrt{3}}{2}$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sửa đổi
|
câu 10Đ nhé!!!
|
|
|
|
Đặt $t=2z$Khi đó: Ta quy về bài toán. Cho $x+y+t=3$. Tìm min: $P=x^2+y^2+t^2+\frac{xy+yt+tx}{x^2y+y^2t+t^2x}$Ta có: $x^3+xy^2\ge 2x^2y$ $y^3+yt^2\ge 2y^2t$ $t^3+tx^2\ge 2t^2x$$=>x^3+y^3+t^3+xy^2+yt^2+tx^2\ge 2x^2y+2y^2t+2t^2x$$\iff (x+y+t)(x^2+y^2+t^2)\ge 3(x^2y+y^2t+t^2x)$Mà $x+y+t=3=>x^2+y^2+t^2\ge x^2y+y^2t+t^2x$Khi đó: $P\ge x^2+y^2+t^2+\frac{xy+yt+tx}{x^2+y^2+t^2}=a+\frac{9-a}{2a}$ (với $a=x^2+y^2+t^2\ge \frac{1}{3}(x+y+t)^2=3$)Mặt khác $(a+\frac{18}{2a})-\frac{9}{2a}-\frac{1}{2}\ge 2\sqrt{a*\frac{18}{2a}}-\frac{9}{2*3}-\frac{1}{2}=4$Vậy $MinP=4$. Dấu = xảy ra khi $x=y=1,z=\frac{1}{2}$
Đặt $t=2z$Khi đó: Ta quy về bài toán. Cho $x+y+t=3$. Tìm min: $P=x^2+y^2+t^2+\frac{xy+yt+tx}{x^2y+y^2t+t^2x}$Ta có: $x^3+xy^2\ge 2x^2y$ $y^3+yt^2\ge 2y^2t$ $t^3+tx^2\ge 2t^2x$$=>x^3+y^3+t^3+xy^2+yt^2+tx^2\ge 2x^2y+2y^2t+2t^2x$$\iff (x+y+t)(x^2+y^2+t^2)\ge 3(x^2y+y^2t+t^2x)$Mà $x+y+t=3=>x^2+y^2+t^2\ge x^2y+y^2t+t^2x$Khi đó: $P\ge x^2+y^2+t^2+\frac{xy+yt+tx}{x^2+y^2+t^2}=a+\frac{9-a}{2a}$ (với $a=x^2+y^2+t^2\ge \frac{1}{3}(x+y+t)^2=3$)Mặt khác $(a+\frac{18}{2a})-\frac{9}{2a}-\frac{1}{2}\ge 2\sqrt{a.\frac{18}{2a}}-\frac{9}{2.3}-\frac{1}{2}=4$Vậy $MinP=4$. Dấu = xảy ra khi $x=y=1,z=\frac{1}{2}$
|
|
|
|
|
|