Đặt $t=2z$Khi đó: Ta quy về bài toán.
Cho $x+y+t=3$. Tìm min: $P=x^2+y^2+t^2+\frac{xy+yt+tx}{x^2y+y^2t+t^2x}$
Ta có: $x^3+xy^2\ge 2x^2y$
$y^3+yt^2\ge 2y^2t$
$t^3+tx^2\ge 2t^2x$
$=>x^3+y^3+t^3+xy^2+yt^2+tx^2\ge 2x^2y+2y^2t+2t^2x$
$\iff (x+y+t)(x^2+y^2+t^2)\ge 3(x^2y+y^2t+t^2x)$
Mà $x+y+t=3=>x^2+y^2+t^2\ge x^2y+y^2t+t^2x$
Khi đó: $P\ge x^2+y^2+t^2+\frac{xy+yt+tx}{x^2+y^2+t^2}=a+\frac{9-a}{2a}$ (với $a=x^2+y^2+t^2\ge \frac{1}{3}(x+y+t)^2=3$)
Mặt khác $(a+\frac{18}{2a})-\frac{9}{2a}-\frac{1}{2}\ge 2\sqrt{a.\frac{18}{2a}}-\frac{9}{2.3}-\frac{1}{2}=4$
Vậy $MinP=4$. Dấu = xảy ra khi $x=y=1,z=\frac{1}{2}$