Ta sd bổ đề : $\begin{cases}a,b,c>0 \\ a+b+c=2 \end{cases}$ , có : 
                  $\frac{bc}{a+2}+\frac{ca}{b+2}+ \frac{ab}{c+2} \leq  \frac{1}{2}$
Bđt cần CM $ \Leftrightarrow  P= \sum \frac{bc}{\sqrt[4]{9a^{2}+12}} \leq  \frac{2}{3}$

$\Rightarrow  \frac{P}{\sqrt[4]{4}}=\sum \frac{bc}{\sqrt[4]{4(9a^{2}+12)}}$
Ad bđt AM-GM : 
 $(9a^{2}+12)4 \geq  (3a+6)^{2}$
$\Rightarrow  \frac{P}{\sqrt[4]{4}} \leq  \sum \frac{bc}{\sqrt{3(a+2)}}$
 $ \left[ { \sum \frac{bc}{\sqrt{3(a+2)}}} \right]^{2} \leq  \frac{\sum bc}{3} \left (  \frac{bc}{a+2}+ \frac{ca}{b+2}+ \frac{ab}{c+2}\right )$
Ad bổ đề và sd bđt cơ bản : $3\sum bc \leq  (a+b+c)^{2} =4$ , ta được : 
  $ \left[ { \sum \frac{bc}{\sqrt{3(a+2)}}} \right] ^{2} \leq  \frac{2}{9}$
 $\Rightarrow  \left[ { \frac{P}{ \sqrt[4]{4}}} \right]^{2} \leq  \frac{2}{9}$
$ \Rightarrow  P \leq  \frac{2}{3}$        (đpcm)
Dấu = xảy ra $ \Leftrightarrow  a=b=c=\frac{2}{3}$

Cách 2 : Đặt : $x=\sqrt[3]{a},y= \sqrt[3]{b},z=\sqrt[3]{c}$
Đưa bài toán về dạng :$\rightarrow  VT=\sum\frac{1}{x^{3}(y^{3}+1)} \geq  \frac{3}{xyz(xyz+1)}$
Có : $P=\sum\frac{1+x^{3}}{x^{3}(y^{3}+1)}+\sum \frac{y^{3}(x^{3}+1)}{1+y^{3}}$
Ad bđt AM-GM :
   $\sum \frac{1+x^{3}}{x^{3}(y^{3}+1)} \geq  3xyz$
  $\sum \frac{x^{3}+1}{1+y^{3}} \geq  \frac{3}{xyz}$
$\rightarrow  P \geq  3xyz+\frac{3}{xyz}$
$\rightarrow  (1+x^{3}y^{3}z^{3}).VT \geq  3xyz+\frac{3}{xyz}-3$
Mà : $\frac{3}{xyz(xyz+1)}(x^{3}y^{3}z^{3}+1)=3xyz-3+\frac{3}{xyz}$
$\rightarrow (1+x^{3}y^{3}z^{3}).VT \geq  (1+x^{3}y^{3}z^{3} ).\frac{3}{xyz(xyz+1)}$
$\Rightarrow (đpcm)$
Dấu = xảy ea $\Leftrightarrow a=b=c$