$\Leftrightarrow \Sigma \frac{1+abc}{a(1+b)}\geq 3$
$\Leftrightarrow \Sigma \frac{1+abc+a+ab}{a(1+b)}\geq 6$
$\Leftrightarrow \Sigma \frac{(1+a)+ab(1+c)}{a(1+b)}\geq 6$
$\Leftrightarrow \Sigma [\frac{1+a}{a(1+b)}+\frac{a(1+b)}{1+a}]\geq 6(\bigstar)$
$(\bigstar)$ luôn đúng theo bác $AM-GM$
Vậy BĐT đc c/m.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1.$
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Comment:
Ta có BĐT mạnh hơn BĐT trên như sau:
$\Sigma \frac{1}{a(1+b)}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc})}$