|
|
sửa đổi
|
Bất đẳng thức
|
|
|
|
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với$\left(
{\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2}}}} \right) + \left(
{\frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2}}}} \right) + \left(
{\frac{{{c^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{a^2}}}{{{a^2}}}} \right) +
\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} +
\frac{{{c^2}}}{{{a^2}}} $$ \ge 2\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}} \right) + 3$ (1)Ta
có $\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2}}} \ge 2\left|
{\frac{a}{b}.\frac{b}{b}} \right| = 2\left| {\frac{a}{b}} \right|$
$\frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2}}} \ge 2\left|
{\frac{b}{c}.\frac{c}{c}} \right| = 2\left| {\frac{b}{c}} \right|$
$\frac{{{c^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{a^2}}}{{{a^2}}} \ge 2\left|
{\frac{c}{a}.\frac{a}{a}} \right| = 2\left| {\frac{c}{a}} \right|$Do
đó $\left( {\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2}}}} \right) +
\left( {\frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2}}}} \right) +
\left( {\frac{{{c^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{a^2}}}{{{a^2}}}} \right) \ge $
$ \ge 2\left( {\left| {\frac{a}{b}} \right| + \left| {\frac{b}{c}}
\right| + \left| {\frac{c}{a}} \right|} \right) \ge 2\left( {\frac{a}{b}
+ \frac{b}{c} + \frac{c}{a}} \right)$ (2)Mặt khác theo bất đẳng thức Côsi ta có
$\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} +
\frac{{{c^2}}}{{{a^2}}} \ge
3\sqrt[3]{{\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}.\frac{{{b^2}}}{{{c^2}}}.\frac{{{c^2}}}{{{a^2}}}}}
= 3$ (3)Cộng vế với vế (2) và (3) ta được (1)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với$\left(
{\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2}}}} \right) + \left(
{\frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2}}}} \right) + \left(
{\frac{{{c^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{a^2}}}{{{a^2}}}} \right) +
\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} +
\frac{{{c^2}}}{{{a^2}}} $$ \ge 2\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}} \right) + 3$ (1)Ta
có $\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2}}} \ge 2\left|
{\frac{a}{b}.\frac{b}{b}} \right| = 2\left| {\frac{a}{b}} \right|$
$\frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2}}} \ge 2\left|
{\frac{b}{c}.\frac{c}{c}} \right| = 2\left| {\frac{b}{c}} \right|$
$\frac{{{c^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{a^2}}}{{{a^2}}} \ge 2\left|
{\frac{c}{a}.\frac{a}{a}} \right| = 2\left| {\frac{c}{a}} \right|$Do
đó $\left( {\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2}}}} \right) +
\left( {\frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2}}}} \right) +
\left( {\frac{{{c^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{a^2}}}{{{a^2}}}} \right)$$ \ge 2\left( {\left| {\frac{a}{b}} \right| + \left| {\frac{b}{c}}
\right| + \left| {\frac{c}{a}} \right|} \right) \ge 2\left( {\frac{a}{b}
+ \frac{b}{c} + \frac{c}{a}} \right)$ (2)Mặt khác theo bất đẳng thức Côsi ta có
$\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} +
\frac{{{c^2}}}{{{a^2}}} \ge
3\sqrt[3]{{\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}.\frac{{{b^2}}}{{{c^2}}}.\frac{{{c^2}}}{{{a^2}}}}}
= 3$ (3)Cộng vế với vế (2) và (3) ta được (1)
|
|
|
|
giải đáp
|
Bất đẳng thức
|
|
|
|
Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Hệ bất phương trình
|
|
|
|
Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết
|
|
|
|
giải đáp
|
Giúp mình giải bất đẳng thức này hộ mình với :)
|
|
|
|
Biến đổi \(\)\(\frac{{\sqrt {{b^2} + 2{a^2}} }}{{ab}} = \sqrt
{\frac{{{b^2} + 2{a^2}}}{{{a^2}{b^2}}}} = \sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} +
2.\frac{1}{{{b^2}}}} \)
Đặt \(x = \frac{1}{a},y = \frac{1}{b},z = \frac{1}{c}\)
Giả thiết\(\left\{ \begin{array}{l}
a,b,c > 0\\
ab + bc + ca = abc
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x,y,z > 0\\
x + y + z = 1
\end{array} \right.\)
và đpcm \( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2{y^2}} + \sqrt {{y^2} + 2{z^2}} + \sqrt {{z^2} + 2{x^2}} \ge \sqrt 3\)
Theo
Bunhiacopki: \(3\left( {{x^2} + 2{y^2}} \right) = 3\left( {{x^2} +
{y^2} + {z^2}} \right) \ge {\left( {x + y + z} \right)^2} \Rightarrow
\sqrt {{x^2} + 2{y^2}} \ge \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {x + 2y}
\right)\)
Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta có: \(
\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2{y^2}} + \sqrt {{y^2} + 2{z^2}} +
\sqrt {{z^2} + 2{x^2}} \ge \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {3x + 3y + 3z}
\right) = \sqrt 3 \)
Đẳng thức xảy ra \( \Leftrightarrow x = y = z = \frac{1}{3} \Leftrightarrow a = b = c = 3\)
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Bài này giải thế nào vậy?
|
|
|
|
Ta có: $4{m_a}^2 = 2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}$ $ \ge
{\left( {b + c} \right)^2} - {a^2} = \left( {b + c - a} \right)\left( {b
+ c + a} \right)$
$\Rightarrow m^2_a \ge p(p-a)$
Tương tự: $\left\{ \begin{array}{l}
m^2_b \ge p(p-b)\\
m^2_c \ge p(p-c)
\end{array} \right.$
Suy ra :${m_a}^2{m_b}^2{m_c}^2 \ge {p^2}.p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow {m_a}^2{m_b}^2{m_c}^2 \ge {p^2}.{S^2}\\
\Rightarrow {m_a}{m_b}{m_c} \ge pS
\end{array}$
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow a = b = c \Leftrightarrow \Delta ABC$đều.
Theo
công thức tính độ dài phân giác, và áp dụng BĐT quen thuộc dạng
$\frac{{4XY}}{{{{\left( {X + Y} \right)}^2}}} \le 1$ , ta có:
$\begin{array}{l}
{l_a}^2{l_b}^2{l_c}^2
= \frac{{4bc}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}p\left( {p - a}
\right).\frac{{4ca}}{{{{\left( {c + a} \right)}^2}}}p\left( {p - b}
\right).\frac{{4ab}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}p\left( {p - c}
\right)\\
\le p\left( {p - a} \right).p\left( {p - b} \right).p\left( {p - c} \right)\\
= {p^2}.p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)\\
= {p^2}.{S^2}
\end{array}$
Suy ra: ${l_a}{l_b}{l_c} \le p.S$
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow \Delta ABC$ đều.
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Ai giải cho e câu này với ạ.
|
|
|
|
a) Đưa bất phương trình về dạng:
$-3<\frac{x^2-3x+1}{x^2+x+1}<3 $
Vì tam thức $x^2+x+1$ có biệt thức $\Delta=-3 <0$ và hệ số của $x^2$ là $1>0$ nên $x^2+x+1>0 \forall x, x\in R$.
Bất phương trình tương đương với:
$-3(x^2+x+1)<x^2-3x+1<3(x^2+x+1)$
$\Leftrightarrow \begin{cases}4x^2+4>0 \\ 2x^2+6x+2>0 \end{cases} $
Đáp số: $x<\frac{-3-\sqrt{2} }{2} $ hoặc $x>\frac{-3+\sqrt{5} }{2} $.
b) Đáp số: $x<2 \sqrt{2} $ hoặc $x>2+2 \sqrt{3} $.
|
|
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
tìm giá trị nhỏ nhất
|
|
|
|
Điều kiện xác định: $\begin{cases} - x^{2} +4x+21 \geq 0 \\ - x^{2} +3x +10 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -3 \leq x \leq 7 \\ -2 \leq x \leq 5 \end{cases} $
$\Leftrightarrow -2 \leq x \leq 5 \Rightarrow $ tập xác định của hàm số là $D=[-2;5]$
Do $- x^{2} +4x+21- \left( - x^{2} +3x +10 \right) = x+11>0 $ trên D nên $y>0$
$y= \sqrt{ \left( x+3 \right) \left( 7-x \right) }- \sqrt{ \left( x+2 \right) \left( 5-x \right) }>0$
$\Rightarrow y^{2}=x^{2} – x^{2} +4x+21+\left( - x^{2} +3x +10 \right) $
$-2 \sqrt{ \left( x+3 \right) \left( 7-x \right) \left( x+2 \right) \left( 5-x \right) }$
$= \left( - x^{2} +2x+15 \right) + \left(- x^{2} +5x+14 \right) $
$- 2 \sqrt{ \left( x+3 \right) \left( 7-x \right) \left( x+2 \right) \left( 5-x \right) }+2$
$= [ \sqrt{ \left( x+3 \right) \left( 5-x \right) }- \sqrt{ \left( x+2 \right) \left( 7-x \right) }]^{2}+2 \geq 2$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $y$ là $ \sqrt{ 2}$ đạt được khi và chỉ khi
$\sqrt{ \left( x+3 \right) \left( 5-x \right) }= \sqrt{ \left( x+2 \right) \left( 7-x \right) }$
$\Leftrightarrow$$ - x^{2} +2x+15 = - x^{2} +5x+14 \Leftrightarrow 3x=1 \Leftrightarrow x= \frac{ 1}{3}$
|
|
|
|
|
|
|
|