$\frac{S_{BMD}}{S_{MDC}}=\frac{BD}{CD}=\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}}$
$=\frac{S_{AMB}}{S_{AMC}}$ ( đỏ có dc do áp dụng dãy tỉ số = nhau)
Tương tự $\frac{CE}{AE}=\frac{S_{BMC}}{S_{BMA}}$;$\frac{AF}{BF}=\frac{S_{CMA}}{CMB}$
$\Rightarrow \frac{BD}{CD}.\frac{CE}{AE}.\frac{AF}{BF}=1$ mà $\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$
$\Rightarrow AB.CE.AF=AC.AE.BF\Rightarrow \frac{BF}{AB.AF}=\frac{CE}{AC.AE}$ (1)
$gt\Leftrightarrow \frac{1}{AF^2}-\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{AE^2}-\frac{1}{AC^2}$
$\Leftrightarrow \frac{BF.(AB+AF)}{AB^2.AF^2}=\frac{CE.(AC+AE)}{AC^2.AE^2}$ (2)
từ (1) và (2) $\Rightarrow \frac{1}{AB}+\frac{1}{AF}=\frac{1}{AC}+\frac{1}{AE}$ (*)
từ xanh và (*) $\Rightarrow \frac{1}{AB}-\frac{1}{AF}=\frac{1}{AC}-\frac{1}{AF}$ (**)
từ đó ta có $$\begin{cases}(*) \\ (**) \end{cases}$$
$\Rightarrow AB=AC$
$\Rightarrow \triangle ABC$ cân (đpcm)
Chúc em học tốt
( ĐÚng click "V" chấp nhận đúng cho anh và vote up nếu thấy hay)