1. Phương trình sin x = m (1)
Nếu $\alpha $ là một nghiệm của phương trình (1) thì :
$\sin x = m \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \alpha + k2\pi \\
x = \pi - \alpha + k2\pi
\end{array} \right.\,\,\,(k \in Z)$
Ví dụ1: $\sin x =$ $-\frac{\sqrt {3}}{2}$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \sin x = \sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow \left[ {_{x = \pi - \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) + k2\pi }^{x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi }} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ {_{x = \frac{4\pi}{3} + k2\pi }^{x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi }} \right.
\end{array}$
Ví dụ 2: Tìm x thỏa mãn phương trình $\sin \left( 2x - \frac{\pi }{5} \right) = \sin \left( \frac{\pi }{5} + x\right)$
Giải:
$\sin \left( 2x - \frac{\pi }{5} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{5} + x} \right)$ $ \Leftrightarrow \left[ {_{2x - \frac{\pi }{5} = \pi - \left( {\frac{\pi }{5} + x} \right) + k2\pi }^{2x - \frac{\pi }{5} = \frac{\pi }{5} + x + k2\pi }} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ {_{x = \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}}^{x = \frac{2\pi }{5} + k2\pi }} \right.$
Vậy các nghiệm cần tìm là :
$x = \frac{2\pi }{5} + k2\pi ,x = \frac{\pi }{3} + k\frac{2\pi }{3},k \in Z$
2. Phương trình cos x = m (II)
Nếu là một nghiệm của phương trình (II), nghĩa là cos x = m thì
$\cos x = m \Leftrightarrow \left[ {_{x = - \alpha + 2k\pi }^{x = \alpha + 2k\pi }} \right.$
Chú ý:
1, Đặc biệt,
$\begin{array}{l}
\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \\
\cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \\
\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi
\end{array}$
2, Với mọi m cho trước mà $\left| m \right| \le 1$, phương trình $\cos x = m$ có đúng với một nghiệm trong đoạn $\left[ {0;\pi } \right]$, ký hiệu nghiệm đó là $\arccos m$. Khi đó
$\cos x = m \Leftrightarrow \left[ {_{x = - \arccos m + 2k\pi }^{x = \arccos m + 2k\pi }} \right.$
3, Nếu $\alpha $ và $\beta $ là hai số thực thì $cos\beta = cos\alpha $ khi và chỉ khi có số nguyên $k$ để $\beta = \alpha + k2\pi $ hoặc
3. Phương trình tan x = m
Nếu $\alpha $ là một nghiệm của phương trình $\tan x = m$ thì
$\tan x = m$ $ \Leftrightarrow $
$x = \alpha + k\pi $
Chú ý:
1, Với một số m cho trước, pt có đúng một nghiệm nằm trong khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$, kí hiệu nghiệm đó là $\arctan m$. Khi đó,
$\tan x = m$$ \Leftrightarrow x = \arctan m + k\pi $
2, Nếu $\alpha $ và $\beta $ là hai số thực mà $\tan \alpha $, $\tan \beta $ xác định thì $\tan \beta $=$\tan \alpha $ khi và chỉ khi có số nguyên k để $\beta = \alpha + k\pi $
Ví dụ:
a) $\tan x = - 1$ $ \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi $
b) $\tan \frac{x}{3} = 3 \Leftrightarrow \frac{x}{3} = \alpha + k\pi \Leftrightarrow x = 3\alpha + k3\pi $
4. Phương trình cot x = m (IV)
Nếu $\alpha $ là một nghiệm của phương trình $\cot x = m$ thì
$\cot x = m$ $ \Leftrightarrow $ $x = \alpha + k\pi $
Với mọi số m cho trước, phương trình (IV) có đúng một nghiệm nằm trong khoảng (0;$\pi $). Khi đó:
$\cot x = m$$ \Leftrightarrow $$x = arc\cot m + k\pi $
Ví dụ: $\cos3x = 1 \Leftrightarrow cos3x = cos\frac{\pi }{4} \Leftrightarrow 3x = \frac{\pi }{4} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3}$
5. Một số điều cần lưu ý
1) Có thể tính các giá trị $\arcsin m,\arccos m,\arctan m$ bằng máy tính bỏ túi với nút ${\sin ^{ - 1}},cos^{ - 1},{\tan ^{ - 1}}$
2) $\arcsin m,\arccos m,\arctan m$ là giá trị thực nên viết : $\arctan 1 = \frac{\pi }{4}$ chứ ko viết $\arctan 1 = {45^0}$
3) Sử dụng kí hiệu số đo độ trong công thức nghiệm cho thông nhất, không viết:$x = {30^0} + k2\pi $
|