A. TÂM ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ
Bài toán :
Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị $(C)$.
- Chứng minh rằng : điểm $I(x_0, y_0)$ là tâm đối xứng của đồ thị.
- Tìm điểm $I(x_0, y_0)$ là tâm đối xứng của đồ thị.
Phương pháp :
Cách 1 :
+ Đổi hệ trục tọa độ Oxy thành hệ trục tọa độ IXY theo vectơ tịnh tiến $\overrightarrow{OI}=(x_0,y_0)$ công thức đổi trục là : $\begin{cases}x= X+x_0\\ y=Y+y_0 \end{cases}$
+ Viết phương trình đường cong $(C)$ trong hệ trục mới, giả sử có phương trình Y=F(X).
+ Kiểm tra hàm Y=F(X) là hàm lẻ. Từ đó kết luận điểm $I(x_0, y_0)$ là tâm đối xứng của đồ thị.
Chú ý : Nếu bài toán yêu cầu tìm tâm đối xứng của đồ thị thì ta áp đặt điều kiện để hàm Y=F(X) là hàm lẻ.
Cách 2 :
Gọi $D$ là miền xác định của hàm số $f(x)$
Ta chứng minh rằng : $\forall (x_0 \pm x) \in D$ thì $f(x_0+x)+f(x_0-x)=2y_0$
Ví dụ $1.$
Cho hàm số $(C) : y=x+1+\frac{1}{x-1}$. Chứng minh rằng điểm $I(1;2)$ là tâm đối xứng của đồ thị.
Lời giải :
Cách 1 :
Đổi hệ trục tọa độ Oxy thành hệ trục tọa độ IXY theo vectơ tịnh tiến $\overrightarrow{OI}=(1,2)$; công thức đổi trục là : $\begin{cases}x= X+x_0\\ y=Y+y_0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x= X+1\\ y=Y+2 \end{cases}$
Phương trình đường cong $(C)$ trong hệ trục IXY là :
$Y+2=X+2+\frac{1}{X}\Leftrightarrow Y=X+\frac{1}{X}=F(X)$
Ta có : $F(-X)=(-X)+\frac{1}{(-X)}=-\left( X+\frac{1}{X} \right )=-F(X)$
$\Rightarrow F(X)$ là hàm số lẻ nên $I(1,2)$ là tâm đối xứng của đồ thị.
Cách 2.
Miền xác định của hàm số $D=\mathbb{R}\setminus \left\{ {1} \right\}$.
Với mọi $(1 \pm x) \in D$ thì :
$f(1+x)=(1+x)+1+\frac{1}{(1+x)-1}=x+2+\frac{1}{x}$
$f(1-x)=(1-x)+1+\frac{1}{(1-x)-1}=-x+2-\frac{1}{x}$
$f(1+x)+f(1-x)=4=2y_0$
Vậy $I(1,2)$ là tâm đối xứng của đồ thị.
Ví dụ 2. Cho $(C): y=x^3-3x^2+1$. Tìm tâm đối xứng của đồ thị.
Lời giải :
Miền xác định $D=\mathbb{R}$.
Gọi $I(a,b)$ là tâm đối xứng của đồ thị.
Với mọi $(a \pm x) \in D$ thì :
$f(a+x)=(a+x)^3-3(a+x)^2+1$
$f(a-x)=(a-x)^3-3(a-x)^2+1$
$f(a+x)+f(a-x)=6(a-1)x^2+2a^3-6a^2+2$
Điểm $I(a,b)$ là tâm đối xứng của đồ thị $(C)$.
$\Leftrightarrow f(a+x)+f(a-x)=2b$
$\Leftrightarrow 6(a-1)x^2+2a^3-6a^2+2=2b$
$\Leftrightarrow \begin{cases}a=1 \\ 2a^3-6a^2+2=2b\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}a=1 \\ b=-1 \end{cases}$
Vậy $I(a,b)$ là tâm đối xứng của đồ thị $(C)$.
Bài tập tự giải :
1. Tìm tâm đối xứng của các đồ thị hàm số :
a. $y=x+\frac{1}{x+1}$
b. $y=\frac{x+1}{x-2}$
2. Tìm tâm đối xứng của các đồ thị hàm số :
a. $y=ax^3+bx^2+cx+d (a \ne 0)$
b. $y=\frac{ax^2+bx+a}{ax+b}$
B. TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ
Bài toán :
Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị $(C)$
+ Chứng minh rằng : đường thẳng $x=x_0$ là trục đối xứng của đồ thị.
+ Tìm trục đối xứng của đồ thị có phương song song với trục tung $(\parallel Oy)$.
Phương pháp :
Cách 1 :
+ Đổi hệ trục tọa độ Oxy thành hệ trục tọa độ IXY theo vectơ tịnh tiến $\overrightarrow{OI}=(x_0,y_0)$ công thức đổi trục là : $\begin{cases}x= X+x_0\\ y=Y+y_0 \end{cases}$ với $I(x_0;0)$ nên $\begin{cases}x= X+x_0\\ y=Y \end{cases}$
+ Viết phương trình đường cong $(C)$ trong hệ trục mới, giả sử có phương trình Y=F(X).
+ Kiểm tra hàm Y=F(X) là hàm chẵn. Từ đó kết luận đường thẳng $x=x_0$ là trục đối xứng của đồ thị.
Chú ý : Nếu bài toán yêu cầu tìm trục đối xứng của đồ thị thì ta áp đặt điều kiện để hàm Y=F(X) là hàm chẵn.
Cách 2 :
Gọi D là miền xác định của hàm số $f(x)$
Ta chứng minh rằng : $\forall (x_0 \pm x) \in D$ thì $f(x_0+x)=f(x_0-x)$.
Ví dụ 1.
Cho hàm số $(C) : y=x^2-2x+3$. Chứng minh rằng đường thẳng $x=1$ là trục đối xứng của đồ thị.
Lời giải :
Đổi hệ trục tọa độ Oxy thành hệ trục tọa độ IXY theo vectơ tịnh tiến $\overrightarrow{OI}=(1,0)$ công thức đổi trục là : $\begin{cases}x= X+x_0\\ y=Y+y_0 \end{cases}$ với $I(1;0)$ nên $\begin{cases}x= X+1\\ y=Y \end{cases}$
Phương trình đường cong $(C)$ trong hệ trục IXY là :
$Y=(X+1)^2-2(X+1)+3=X^2+2=F(X)$
Ta có : $F(-X)=(-X)^2+2=F(X)$
$\Rightarrow F(X)$ là hàm số chẵn nên $x=1$ là trục đối xứng của đồ thị.
Ví dụ 2.
Cho hàm số $(C) : y=x^4-4x^3-2x^2+12x-1$. Chứng minh rằng đường thẳng $x=1$ là trục đối xứng của đồ thị.
Lời giải :
Miền xác định $D=\mathbb{R}$.
Với mọi $(1 \pm x) \in D$. Ta có :
$\begin{cases}f(1+x)=
(1+x)^4-4(1+x)^3-2(1+x)^2+12(1+x)-1=x^4-8x^2+6 \\ f(1-x)=
(1-x)^4-4(1-x)^3-2(1-x)^2+12(1-x)-1 =x^4-8x^2+6\end{cases}\Rightarrow f(1+x)=f(1-x)$
Vậy $x=1$ là trục đối xứng của đồ thị.
Ví dụ 3.
Tìm a, b để đồ thị $(C)$ của hàm số $y=x^4+ax^3+bx^2+2x$ nhận đường thẳng $x=-1$ làm trục đối xứng.
Lời giải :
Đổi hệ trục tọa độ Oxy thành hệ trục tọa độ IXY theo vectơ tịnh tiến $\overrightarrow{OI}=(-1,0)$ công thức đổi trục là : $\begin{cases}x= X+x_0\\ y=Y+y_0 \end{cases}$ với $I(-1;0)$ nên $\begin{cases}x= X-1\\ y=Y \end{cases}$
Phương trình đường cong $(C)$ trong hệ trục IXY là :
$Y=(X-1)^4+a(X-1)^3+b(X-1)^2+2(X-1)$
$=X^4+(a-4)X^3+(b-3a+6)X^2+(3a-2-2b)X+b-a-1$
Để hàm số này là hàm số chẵn thì
$\begin{cases}a-4=0 \\ 3a-2-2b=0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=4 \\ b= 5\end{cases}$
Vậy khi $a=4$ và $b=5$ thì $x=-1$ là trục đối xứng của đồ thị.
Bài tập tự giải
1. Gọi $(C)$ là đồ thị hàm số $y=x^4+4ax^3-2x^2-12ax$. Xác định $a$ để $(C)$ có trục đối xứng cùng phương với Oy.
2. Chứng minh rằng đường thẳng $x=1$ là trục đối xứng của đồ thị $(C)$ có phương trình $y=x^4-4x^3+6x^2-4x$.
|