PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Question

A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Ta xét các phương trình-bất phương trình cơ bản sau :

$1.$

$a^{f(x)}=a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)=g(x)$ .

$2.$

$a^{f(x)}=b=a^{\displaystyle \log_a^b}\Leftrightarrow f(x)=\log_a b$ .

$3.$

$a^{f(x)}=b^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)=g(x)\log_a b$ .

$4.$

$a^{f(x)}>a^{g(x)} (1)$
+ Nếu

$a> 1$ thì

$(1)\Leftrightarrow f(x) > g(x)$
+ Nếu

$0<a<1$ thì

$(1)\Leftrightarrow f(x) < g(x)$
Cách nói khác,

$(1)\Leftrightarrow \begin{cases}a > 0\\ (a-1)(f(x)-g(x))>0 \end{cases}$
Để giải phương trình - bất phương trình mũ thì ta phải tìm cách chuyển về các phương trình - bất phương trình cơ bản trên.

B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Ví dụ $1.$ Giải phương trình

$2^{x+1}.5^x = 2.10^{2x+5}$
Lời giải :
Phương trình đã cho

$\Leftrightarrow 2.2^x.5^x=2.10^{2x+5}\Leftrightarrow 10^x=10^{2x+5}\Leftrightarrow x=2x+5\Leftrightarrow x=-5.$

Ví dụ $2.$ Giải phương trình

$3^{x+1}+3^{x+2}+3^{x+3} = 9.5^{x}+5^{x+1}+5^{x+2}$
Lời giải :
Phương trình đã cho

$\Leftrightarrow 3^x.(3+3^2+3^3)=5^x.(9+5+5^2)\Leftrightarrow 3^x.39=5^x.39\Leftrightarrow \left (\frac{3}{5}\right )^x=1\Leftrightarrow x=0.$

Ví dụ $3.$ Giải phương trình

$(2+\sqrt 3)^{3x+1}= (2-\sqrt 3)^{5x+8}$
Lời giải :
Nhận thấy rằng

$(2+\sqrt 3)(2-\sqrt 3)=1\Rightarrow 2- \sqrt 3 = (2+ \sqrt 3)^{-1}$
Phương trình đã cho

$\Leftrightarrow (2+\sqrt 3)^{3x+1}= (2+\sqrt 3)^{-5x-8}\Leftrightarrow 3x+1=-5x-8 \Leftrightarrow x=-\frac{9}{8}.$

Ví dụ $4.$ Giải bất phương trình

$3^{\sqrt{x^2-2x}} \ge \left ( \frac{1}{3} \right )^{x-|x-1|}$
Lời giải :
Điều kiện :

$x \le 0$ hoặc

$x \ge 2$ . Khi đó bất phương trình tương đương

$3^{\sqrt{x^2-2x}} \ge 3^{|x-1|-x}\Leftrightarrow \sqrt{x^2-2x} \ge |x-1|-x (1)$
Nếu

$x \le 0$ thì

$|x-1|=1-x$ , khi đó

$(1) \Leftrightarrow \sqrt{x^2-2x} \ge 1- 2x\Leftrightarrow x^2-2x \ge 1-4x+4x^2 \Leftrightarrow 3x^2-2x+1 \le 0$ .
Đây là điều vô lý vì,

$3x^2-2x+1=3\left ( x-\frac{1}{3} \right )^2+\frac{2}{3} > 0, \forall x$ .
Nếu

$x \ge 2$ thì

$|x-1|=x-1$ , khi đó

$(1) \Leftrightarrow \sqrt{x^2-2x} \ge -1$ đây là điều luôn đúng.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

$\mathbb{S}=[2, +\infty)$ .

Ví dụ $5$ . Giải bất phương trình

$\left ( x^2+\frac{1}{2} \right )^{2x^2+x+1} \ge \left ( x^2+\frac{1}{2} \right )^{1-x}$
Lời giải :
Vì

$x^2+\frac{1}{2} >0$ nên ta có các trường hợp sau
*

$x^2+\frac{1}{2} =1\Leftrightarrow x= \pm \frac{1}{\sqrt 2}$
*

$\begin{cases}x^2+\frac{1}{2} >1 \\ 2x^2+x+1 \ge1-x \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} |x| > \frac{1}{\sqrt 2} \\ 2x^2+2x \ge 0 \end{cases}\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x \le -1\\ x > \frac{1}{\sqrt 2} \end{matrix}} \right.$
*

$\begin{cases}x^2+\frac{1}{2} <1 \\ 2x^2+x+1 \le1-x \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} |x| < \frac{1}{\sqrt 2} \\ 2x^2+2x \le 0 \end{cases}\Leftrightarrow - \frac{1}{\sqrt 2} < x \le 0.$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

$\mathbb{S}=(-\infty, -1] \cup \left[ {- \frac{1}{\sqrt 2}, 0} \right] \cup [ \frac{1}{\sqrt 2}, +\infty)$ .

Bài tập tương tự : Giải các phương trình, bất phương trình sau :

$1.$

$2^x.3^{x-1}.5^{x-2}=12$ .
Đáp số :

$x=2$ .

$2.$

$3^{x+1} + 5^{x+2} \ge 3^{x+2} + 5^{x+1}$
Đáp số :

$x \ge \log_{\frac{5}3} \frac{3}{10}$

$3.$

$(\sqrt 5 - 2)^{\displaystyle\frac{x-1}{x+1}} \le (\sqrt 5 + 2)^{x-1}$
Đáp số :

$\left[ {\begin{matrix} x \ge 1\\-2 \le x \le -1\end{matrix}} \right.$

II. Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ $1.$ Giải phương trình

$(4+\sqrt{15})^x +(4-\sqrt{15})^x =62$
Lời giải :
Nhận xét rằng :

$(4+\sqrt{15}).(4-\sqrt{15})=1\Rightarrow 4-\sqrt{15}=\frac{1}{4+\sqrt{15}}\Rightarrow (4-\sqrt{15})^x=\frac{1}{(4+\sqrt{15})^x}$
Đặt

$t=(4+\sqrt{15})^x (t>0)$
Phương trình đã cho

$\Leftrightarrow t+\frac{1}{t}=62\Leftrightarrow t^2-62t+1=0$ .
Phương trình này có hai nghiệm

$t=31 \pm8\sqrt{15} = (4 \pm \sqrt {15})^2$
Với

$t=(4 + \sqrt {15})^2$ thì

$x=2$ .
Với

$t=(4 - \sqrt {15})^2=(4 + \sqrt {15})^{-2}$ thì

$x=-2$ .

Ví dụ $2.$ Giải phương trình

$125^x + 50^x=2^{3x+1}$
Lời giải :
Phương trình đã cho

$\Leftrightarrow 5^{3x}+5^{2x}.2^x=2.2^{3x}$ .
Chia hai vế của PT này cho

$2^{3x} >0$ ta được
PT

$\Leftrightarrow \left (\frac{5}{2} \right )^{3x}+\left (\frac{5}{2} \right )^{2x}-2=0$
Đặt

$t=\left (\frac{5}{2} \right )^{x}, t>0$ .
Ta có :

$t^3+t^2-2=0 \Leftrightarrow (t-1)(t^2+2t+2)=0\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow x=0$ .
Vậy PT có nghiệm

$x=0.$

Ví dụ $3.$ Giải phương trình

$2^{x^2-5x+6} + 2^{1-x^2}=2.2^{6-5x}+1$
Lời giải :
Đặt

$u=2^{x^2-5x+6} , v=2^{1-x^2} (u, v >0)$ . Khi đó

$u.v=2^{7-5x}=2.2^{6-5x}$
PT đã cho trở thành

$u+v=uv+1\Leftrightarrow (u-1)(v-1)=0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} u=1\\ v=1 \end{matrix}} \right.$
Với

$u=1$ thì

$2^{x^2-5x+6}=1\Leftrightarrow x^2-5x+6=0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=2\\ x=3\end{matrix}} \right.$
Với

$v=1$ thì

$2^{1-x^2}=1\Leftrightarrow 1-x^2=0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=-1\\ x=1\end{matrix}} \right.$
Vậy PT có bốn nghiệm

$x=-1, x=1, x=2, x=3.$

Ví dụ $4.$ Giải bất phương trình

$\displaystyle \frac{2.3^x-2^{x+2}}{3^x-2^x} \le 1 (1)$
Lời giải :
Điều kiện

$x \ne 0$ . Chia cả tử và mẫu cho

$2^x$ , ta được

$(1)\Leftrightarrow \frac{\displaystyle 2.\left ( \frac{3}{2} \right )^x-4}{{\displaystyle \left ( \frac{3}{2} \right )^x-1}} \le 1 (2)$
Đặt

$t=\left ( \frac{3}{2} \right )^x , 0<t \ne 1$ . Khi đó BPT

$(2)$ tương đương với

$\displaystyle \frac{2t-4}{t-1} -1 \le 0 \Leftrightarrow \displaystyle \frac{t-3}{t-1} \le 0 \Leftrightarrow 1<t \le 3\Leftrightarrow 1<\left ( \frac{3}{2} \right )^x \le 3\Leftrightarrow 0<x \le \log_{\displaystyle\frac{3}{2}} 3$
Vậy BPT có nghiệm

$0<x \le \log_{\displaystyle\frac{3}{2}} 3.$

Ví dụ $5.$ Giải bất phương trình

$5^{2x-10-3\sqrt{x-2}}-4.5^{x-5} < 5^{1+3\sqrt{x-2}}$
Lời giải :
Đặt

$u=5^{x-5}>0, v=5^{3\sqrt{x-2}}>0$ . BPT trở thành

$\frac{u^2}{v}-4v < 5v (1)$
Do

$v >0$ nên

$(1)\Leftrightarrow u^2-4uv < 5v^2\Leftrightarrow u^2-4uv - 5v^2 <0 \Leftrightarrow (u+v)(u-5v)<0$

$\Leftrightarrow u-5v<0\Leftrightarrow u<5v\Leftrightarrow 5^{x-5}< 5^{1+3\sqrt{x-2}}\Leftrightarrow x-5 <1+3\sqrt{x-2}\Leftrightarrow x-6<3\sqrt{x-2}$
BPT trên tương đương với hai hệ sau

$(I)\begin{cases}x-2 \ge 0 \\ x-6 <0 \end{cases}\Leftrightarrow 2 \le x <6$

$(II)\begin{cases}x-6 \ge 0 \\ 9(x-2)>(x-6)^2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x\ge 6 \\ x^2-21x+54<0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x \ge 6 \\ 3<x<18\end{cases}\Leftrightarrow 6\le x <18$
Vậy BPT có nghiệm là :

$2 \le x <18.$

Bài tập tương tự : Giải các phương trình, bất phương trình sau :

$1.$

$(8+3\sqrt{7})^{\tan x} +(8-3\sqrt{7})^{\tan x} =16$
Hướng dẫn : Đặt

$t=(8+3\sqrt{7})^{\tan x}$ với chú ý

$(8+3\sqrt{7}).(8-3\sqrt{7})=1$

$2.$

$3.49^x+2.14^x-4^x=0$
Hướng dẫn : Chia cả hai vế của PT cho

$4^x >0$ .

$3.$ Tìm nghiệm

$x<1$ của phương trình

$3^{2x-1}+3^{x-1}(3x-7)-x+2=0$
Hướng dẫn : Đặt

$t=3^{x-1}$ và thu được PT chứa

$t$ và

$x$ . Coi PT này là PT bậc hai theo

$t$ , tham số

$x$ và tìm được

$\left[ {\begin{matrix} t=\frac{1}{3}\\ t=-x+2 \end{matrix}} \right.$ .

$4.$

$3^{2x}-8.3^{x+\sqrt{x+4}} - 9.9^{\sqrt{x+4}} >0$
Hướng dẫn :
Chia hai vế của BPT cho

$9^{\sqrt{x+4}}$ và đặt

$t=3^{x-\sqrt{x+4}}$ .

III. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
Để giải các bài tập dạng này ta thường sử dụng một trong ba tính chất sau.
Giả sử

$y=f(x)$ là hàm số liên tục và có đạo hàm trên tập xác định của nó.
Tính chất $1.$ Nếu hàm số

$y=f(x)$ đồng biến

$(f'(x)>0)$ hoặc nghịch biến

$(f'(x)<0)$ trong khoảng

$(a, b)$ thì phương trình

$f(x)=k, (k \in \mathbb{R})$ có không quá một nghiệm thực trong khoảng

$(a, b)$ .
Tính chất $2.$ Nếu hàm số

$y=f(x)$ đồng biến trong khoảng

$(a, b)$ và hàm số

$y=g(x)$ nghịch biến trong khoảng

$(a, b)$ . Do đó nếu tồn tại

$x_0 \in (a, b)$ để

$f(x_0)=g(x_0)$ thì đó là nghiệm duy nhất của PT

$f(x)=g(x).$
Tính chất $3.$ Nếu hàm số

$y=f(x)$ đồng biến

$(f'(x)>0)$ hoặc nghịch biến

$(f'(x)<0)$ trong khoảng

$(a, b)$ thì

$f(u)=f(v)\Leftrightarrow u=v$ với mọi

$u, v \in (a, b)$ .
Ví dụ $1.$ Giải phương trình

$3^{x+1}=3-x$
Lời giải :
Điều kiện

$x <3.$
Nhận xét :
* Vế trái

$f(x)=3^{x+1}$ có

$f'(x)=3^{x+1}\ln 3 > 0 \forall x\in \mathbb{R}$ nên nó là hàm đồng biến trên

$\mathbb{R}.$
Vế phải

$g(x)=3-x$ có

$f'(x)=-1 0 \forall x\in \mathbb{R}$ nên nó là hàm đồng biến trên

$\mathbb{R}.$
*

$x=0$ là nghiệm duy nhất của PT.
Thật vậy, Với

$x > 0$ thì

$3^{x+1} > 3 > 3-x$
Với

$x < 0$ thì

$3^{x+1} < 3 < 3-x$ .
Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất

$x=0$ .

Ví dụ $2.$ Giải phương trình

$1+8^{\frac{x}{2}}=3^x$
Lời giải :
Chia hai vế của PT cho

$3^x >0$ , ta được

$\left ( \frac{1}{3}\right )^x+\left ( \frac{\sqrt 8}{3}\right )^x=1$ .
Nhận xét rằng vế trái

$f(x)=\left ( \frac{1}{3}\right )^x+\left ( \frac{\sqrt 8}{3}\right )^x$ là hàm nghịch biến trên

$\mathbb{R}$ vì

$0<\frac{1}{3}, \frac{\sqrt 8}{3} <1.$
Nhận thấy

$x=2$ là nghiệm của PT.
Với

$x >2$ thì

$\left ( \frac{1}{3}\right )^x+\left ( \frac{\sqrt 8}{3}\right )^x<\left ( \frac{1}{3}\right )^2+\left ( \frac{\sqrt 8}{3}\right )^2=1$
Với

$x <2$ thì

$\left ( \frac{1}{3}\right )^x+\left ( \frac{\sqrt 8}{3}\right )^x>\left ( \frac{1}{3}\right )^2+\left ( \frac{\sqrt 8}{3}\right )^2=1$
Vậy PT có nghiệm duy nhất

$x=2$ .

Ví dụ $3.$ Giải phương trình

$2^{x-1}+2^{x^2-x}=(x-1)^2$
Lời giải :
PT đã cho

$\Leftrightarrow 2^{x-1}+(x-1)=2^{x^2-x}+(x^2-x)$ .
Đặt

$u=x-1, v=x^2-x$ . PT có dạng

$2^u+u=2^v+v (1)$ .
Xét hàm số

$f(t)=2^t+t$ có

$f'(t)=2^t\ln 2 + 1 > 0 \forall x \in \mathbb{R}$ nên hàm số này đồng biến và liên tục trên

$\mathbb{R}$ .
PT

$(1)\Leftrightarrow f(u)=f(v)\Leftrightarrow u=v \Leftrightarrow x^2-x=x-1\Leftrightarrow x^2-2x+1=0\Leftrightarrow x=1.$
Vậy PT có nghiệm duy nhất

$x=1$ .

Bài tập tương tự : Giải các phương trình sau :

$1.$

$3^x=3-\log_5 x$
Đáp số :

$x=1.$

$2.$

$1+3^{\frac{x}{2}}=2^x$
Đáp số :

$x=2.$

$3.$

$\frac{4}{x+2}=\log_3 (x+1)$
Đáp số :

$x=2.$

PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Liên quan