A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Ta xét các phương trình-bất phương trình cơ bản sau :
$1.$ $a^{f(x)}=a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)=g(x)$.
$2.$ $a^{f(x)}=b=a^{\displaystyle \log_a^b}\Leftrightarrow f(x)=\log_a b$.
$3.$ $a^{f(x)}=b^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)=g(x)\log_a b$.
$4.$ $a^{f(x)}>a^{g(x)} (1)$
+ Nếu $a> 1$ thì $(1)\Leftrightarrow f(x) > g(x)$
+ Nếu $0<a<1$ thì $(1)\Leftrightarrow f(x) < g(x)$
Cách nói khác, $(1)\Leftrightarrow \begin{cases}a > 0\\ (a-1)(f(x)-g(x))>0 \end{cases}$
Để giải phương trình - bất phương trình mũ thì ta phải tìm cách chuyển về các phương trình - bất phương trình cơ bản trên.
B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
I. Phương pháp đưa về cùng cơ số :
Ví dụ $1.$ Giải phương trình
$2^{x+1}.5^x = 2.10^{2x+5}$
Lời giải :
Phương trình đã cho $\Leftrightarrow 2.2^x.5^x=2.10^{2x+5}\Leftrightarrow 10^x=10^{2x+5}\Leftrightarrow x=2x+5\Leftrightarrow x=-5.$
Ví dụ $2.$ Giải phương trình
$3^{x+1}+3^{x+2}+3^{x+3} = 9.5^{x}+5^{x+1}+5^{x+2}$
Lời giải :
Phương
trình đã cho $\Leftrightarrow 3^x.(3+3^2+3^3)=5^x.(9+5+5^2)\Leftrightarrow 3^x.39=5^x.39\Leftrightarrow \left (\frac{3}{5}\right )^x=1\Leftrightarrow x=0.$
Ví dụ $3.$ Giải phương trình
$(2+\sqrt 3)^{3x+1}= (2-\sqrt 3)^{5x+8}$
Lời giải :
Nhận thấy rằng $(2+\sqrt 3)(2-\sqrt 3)=1\Rightarrow 2- \sqrt 3 = (2+ \sqrt 3)^{-1}$
Phương
trình đã cho $\Leftrightarrow (2+\sqrt 3)^{3x+1}= (2+\sqrt 3)^{-5x-8}\Leftrightarrow 3x+1=-5x-8 \Leftrightarrow x=-\frac{9}{8}.$
Ví dụ $4.$ Giải bất phương trình
$3^{\sqrt{x^2-2x}} \ge \left ( \frac{1}{3} \right )^{x-|x-1|}$
Lời giải :
Điều kiện : $x \le 0 $ hoặc $x \ge 2$. Khi đó bất phương trình tương đương
$3^{\sqrt{x^2-2x}} \ge 3^{|x-1|-x}\Leftrightarrow \sqrt{x^2-2x} \ge |x-1|-x (1)$
Nếu $x \le 0$ thì $|x-1|=1-x$, khi đó $(1) \Leftrightarrow \sqrt{x^2-2x} \ge 1- 2x\Leftrightarrow x^2-2x \ge 1-4x+4x^2 \Leftrightarrow 3x^2-2x+1 \le 0$.
Đây là điều vô lý vì, $3x^2-2x+1=3\left ( x-\frac{1}{3} \right )^2+\frac{2}{3} > 0, \forall x$.
Nếu $x \ge 2$ thì $|x-1|=x-1$, khi đó $(1) \Leftrightarrow \sqrt{x^2-2x} \ge -1$ đây là điều luôn đúng.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\mathbb{S}=[2, +\infty) $.
Ví dụ $5$. Giải bất phương trình
$\left ( x^2+\frac{1}{2} \right )^{2x^2+x+1} \ge \left ( x^2+\frac{1}{2} \right )^{1-x}$
Lời giải :
Vì $x^2+\frac{1}{2} >0$ nên ta có các trường hợp sau
* $x^2+\frac{1}{2} =1\Leftrightarrow x= \pm \frac{1}{\sqrt 2}$
*$\begin{cases}x^2+\frac{1}{2}
>1 \\ 2x^2+x+1 \ge1-x \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} |x|
> \frac{1}{\sqrt 2} \\ 2x^2+2x \ge 0 \end{cases}\Leftrightarrow
\left[ {\begin{matrix} x \le -1\\ x > \frac{1}{\sqrt 2} \end{matrix}}
\right.$
*$\begin{cases}x^2+\frac{1}{2} <1 \\ 2x^2+x+1 \le1-x
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} |x| < \frac{1}{\sqrt 2} \\
2x^2+2x \le 0 \end{cases}\Leftrightarrow - \frac{1}{\sqrt 2} < x \le 0.$
Vậy
tập nghiệm của bất phương trình là $\mathbb{S}=(-\infty, -1] \cup
\left[ {- \frac{1}{\sqrt 2}, 0} \right] \cup [ \frac{1}{\sqrt 2},
+\infty) $.
Bài tập tương tự : Giải các phương trình, bất phương trình sau :
$1.$ $2^x.3^{x-1}.5^{x-2}=12$.
Đáp số : $x=2$.
$2.$ $3^{x+1} + 5^{x+2} \ge 3^{x+2} + 5^{x+1}$
Đáp số : $x \ge \log_{\frac{5}3} \frac{3}{10}$
$3.$ $(\sqrt 5 - 2)^{\displaystyle\frac{x-1}{x+1}} \le (\sqrt 5 + 2)^{x-1}$
Đáp số : $\left[ {\begin{matrix} x \ge 1\\-2 \le x \le -1\end{matrix}} \right.$
II. Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ $1.$ Giải phương trình
$(4+\sqrt{15})^x +(4-\sqrt{15})^x =62$
Lời giải :
Nhận xét rằng :
$(4+\sqrt{15}).(4-\sqrt{15})=1\Rightarrow
4-\sqrt{15}=\frac{1}{4+\sqrt{15}}\Rightarrow
(4-\sqrt{15})^x=\frac{1}{(4+\sqrt{15})^x}$
Đặt $t=(4+\sqrt{15})^x (t>0)$
Phương trình đã cho $\Leftrightarrow t+\frac{1}{t}=62\Leftrightarrow t^2-62t+1=0$.
Phương trình này có hai nghiệm $t=31 \pm8\sqrt{15} = (4 \pm \sqrt {15})^2$
Với $t=(4 + \sqrt {15})^2 $ thì $x=2$.
Với $t=(4 - \sqrt {15})^2=(4 + \sqrt {15})^{-2} $ thì $x=-2$.
Ví dụ $2.$ Giải phương trình
$125^x + 50^x=2^{3x+1}$
Lời giải :
Phương trình đã cho $\Leftrightarrow 5^{3x}+5^{2x}.2^x=2.2^{3x} $.
Chia hai vế của PT này cho $2^{3x} >0$ ta được
PT $\Leftrightarrow \left (\frac{5}{2} \right )^{3x}+\left (\frac{5}{2} \right )^{2x}-2=0$
Đặt $t=\left (\frac{5}{2} \right )^{x}, t>0$.
Ta có : $t^3+t^2-2=0 \Leftrightarrow (t-1)(t^2+2t+2)=0\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow x=0$.
Vậy PT có nghiệm $x=0.$
Ví dụ $3.$ Giải phương trình
$2^{x^2-5x+6} + 2^{1-x^2}=2.2^{6-5x}+1$
Lời giải :
Đặt $u=2^{x^2-5x+6} , v=2^{1-x^2} (u, v >0)$. Khi đó $u.v=2^{7-5x}=2.2^{6-5x}$
PT
đã cho trở thành $u+v=uv+1\Leftrightarrow (u-1)(v-1)=0 \Leftrightarrow
\left[ {\begin{matrix} u=1\\ v=1 \end{matrix}} \right.$
Với $u=1$ thì $2^{x^2-5x+6}=1\Leftrightarrow x^2-5x+6=0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=2\\ x=3\end{matrix}} \right.$
Với $v=1$ thì $2^{1-x^2}=1\Leftrightarrow 1-x^2=0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=-1\\ x=1\end{matrix}} \right.$
Vậy PT có bốn nghiệm $x=-1, x=1, x=2, x=3.$
Ví dụ $4.$ Giải bất phương trình
$\displaystyle \frac{2.3^x-2^{x+2}}{3^x-2^x} \le 1 (1)$
Lời giải :
Điều
kiện $x \ne 0$. Chia cả tử và mẫu cho $2^x$, ta được
$(1)\Leftrightarrow \frac{\displaystyle 2.\left ( \frac{3}{2} \right
)^x-4}{{\displaystyle \left ( \frac{3}{2} \right )^x-1}} \le
1 (2)$
Đặt $t=\left ( \frac{3}{2} \right )^x , 0<t \ne 1$. Khi đó BPT $(2)$ tương đương với
$\displaystyle
\frac{2t-4}{t-1} -1 \le 0 \Leftrightarrow \displaystyle
\frac{t-3}{t-1} \le 0 \Leftrightarrow 1<t \le 3\Leftrightarrow
1<\left ( \frac{3}{2} \right )^x \le 3\Leftrightarrow 0<x \le
\log_{\displaystyle\frac{3}{2}} 3$
Vậy BPT có nghiệm $ 0<x \le \log_{\displaystyle\frac{3}{2}} 3.$
Ví dụ $5.$ Giải bất phương trình
$5^{2x-10-3\sqrt{x-2}}-4.5^{x-5} < 5^{1+3\sqrt{x-2}}$
Lời giải :
Đặt $u=5^{x-5}>0, v=5^{3\sqrt{x-2}}>0$. BPT trở thành $\frac{u^2}{v}-4v < 5v (1)$
Do $v >0$ nên $(1)\Leftrightarrow u^2-4uv < 5v^2\Leftrightarrow u^2-4uv - 5v^2 <0 \Leftrightarrow (u+v)(u-5v)<0$
$\Leftrightarrow
u-5v<0\Leftrightarrow u<5v\Leftrightarrow 5^{x-5}<
5^{1+3\sqrt{x-2}}\Leftrightarrow x-5 <1+3\sqrt{x-2}\Leftrightarrow
x-6<3\sqrt{x-2}$
BPT trên tương đương với hai hệ sau
$(I)\begin{cases}x-2 \ge 0 \\ x-6 <0 \end{cases}\Leftrightarrow 2 \le x <6$
$(II)\begin{cases}x-6
\ge 0 \\ 9(x-2)>(x-6)^2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x\ge
6 \\ x^2-21x+54<0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x \ge 6 \\
3<x<18\end{cases}\Leftrightarrow 6\le x <18$
Vậy BPT có nghiệm là : $2 \le x <18.$
Bài tập tương tự : Giải các phương trình, bất phương trình sau :
$1.$ $(8+3\sqrt{7})^{\tan x} +(8-3\sqrt{7})^{\tan x} =16$
Hướng dẫn : Đặt $t=(8+3\sqrt{7})^{\tan x}$ với chú ý $(8+3\sqrt{7}).(8-3\sqrt{7})=1$
$2.$ $3.49^x+2.14^x-4^x=0$
Hướng dẫn : Chia cả hai vế của PT cho $4^x >0$.
$3.$ Tìm nghiệm $x<1$ của phương trình $3^{2x-1}+3^{x-1}(3x-7)-x+2=0$
Hướng
dẫn : Đặt $t=3^{x-1}$ và thu được PT chứa $t$ và $x$. Coi PT này là PT
bậc hai theo $t$, tham số $x$ và tìm được $\left[ {\begin{matrix}
t=\frac{1}{3}\\ t=-x+2 \end{matrix}} \right.$.
$4.$ $3^{2x}-8.3^{x+\sqrt{x+4}} - 9.9^{\sqrt{x+4}} >0$
Hướng dẫn :
Chia hai vế của BPT cho $9^{\sqrt{x+4}}$ và đặt $t=3^{x-\sqrt{x+4}} $.
III. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
Để giải các bài tập dạng này ta thường sử dụng một trong ba tính chất sau.
Giả sử $y=f(x)$ là hàm số liên tục và có đạo hàm trên tập xác định của nó.
Tính chất $1.$
Nếu hàm số $y=f(x)$ đồng biến $(f'(x)>0)$ hoặc nghịch biến
$(f'(x)<0)$ trong khoảng $(a, b)$ thì phương trình $f(x)=k, (k \in
\mathbb{R})$ có không quá một nghiệm thực trong khoảng $(a, b)$.
Tính chất $2.$
Nếu hàm số $y=f(x)$ đồng biến trong khoảng $(a, b)$ và hàm số $y=g(x)$
nghịch biến trong khoảng $(a, b)$. Do đó nếu tồn tại $x_0 \in (a, b)$
để $f(x_0)=g(x_0)$ thì đó là nghiệm duy nhất của PT $f(x)=g(x).$
Tính chất $3.$ Nếu hàm số $y=f(x)$ đồng biến $(f'(x)>0)$ hoặc nghịch biến $(f'(x)<0)$ trong khoảng $(a, b)$ thì
$f(u)=f(v)\Leftrightarrow u=v$ với mọi $u, v \in (a, b)$.
Ví dụ $1.$ Giải phương trình $3^{x+1}=3-x$
Lời giải :
Điều kiện $x <3.$
Nhận xét :
* Vế trái $f(x)=3^{x+1}$ có $f'(x)=3^{x+1}\ln 3 > 0 \forall x\in \mathbb{R}$ nên nó là hàm đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Vế phải $g(x)=3-x$ có $f'(x)=-1 0 \forall x\in \mathbb{R}$ nên nó là hàm đồng biến trên $\mathbb{R}.$
* $x=0$ là nghiệm duy nhất của PT.
Thật vậy, Với $x > 0$ thì $3^{x+1} > 3 > 3-x$
Với $x < 0$ thì $3^{x+1} < 3 < 3-x$.
Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất $x=0$.
Ví dụ $2.$ Giải phương trình $1+8^{\frac{x}{2}}=3^x$
Lời giải :
Chia hai vế của PT cho $3^x >0$, ta được $\left ( \frac{1}{3}\right )^x+\left ( \frac{\sqrt 8}{3}\right )^x=1$.
Nhận xét rằng vế trái $f(x)=\left ( \frac{1}{3}\right )^x+\left ( \frac{\sqrt 8}{3}\right )^x$ là hàm nghịch biến trên $\mathbb{R}$ vì $0<\frac{1}{3}, \frac{\sqrt 8}{3} <1.$
Nhận thấy $x=2 $ là nghiệm của PT.
Với $x >2$
thì $\left ( \frac{1}{3}\right )^x+\left ( \frac{\sqrt 8}{3}\right
)^x<\left ( \frac{1}{3}\right )^2+\left ( \frac{\sqrt 8}{3}\right
)^2=1$
Với $x <2$ thì $\left ( \frac{1}{3}\right )^x+\left ( \frac{\sqrt
8}{3}\right )^x>\left ( \frac{1}{3}\right )^2+\left ( \frac{\sqrt
8}{3}\right )^2=1$
Vậy PT có nghiệm duy nhất $x=2$.
Ví dụ $3.$ Giải phương trình $2^{x-1}+2^{x^2-x}=(x-1)^2$
Lời giải :
PT đã cho $\Leftrightarrow 2^{x-1}+(x-1)=2^{x^2-x}+(x^2-x)$.
Đặt $u=x-1, v=x^2-x$. PT có dạng $2^u+u=2^v+v (1)$.
Xét
hàm số $f(t)=2^t+t$ có $f'(t)=2^t\ln 2 + 1 > 0 \forall x \in
\mathbb{R}$ nên hàm số này đồng biến và liên tục trên $\mathbb{R}$.
PT $(1)\Leftrightarrow f(u)=f(v)\Leftrightarrow u=v \Leftrightarrow x^2-x=x-1\Leftrightarrow x^2-2x+1=0\Leftrightarrow x=1.$
Vậy PT có nghiệm duy nhất $x=1$.
Bài tập tương tự : Giải các phương trình sau :
$1.$ $3^x=3-\log_5 x$
Đáp số : $x=1.$
$2.$ $1+3^{\frac{x}{2}}=2^x$
Đáp số : $x=2.$
$3.$ $\frac{4}{x+2}=\log_3 (x+1)$
Đáp số : $x=2.$
|