HỆ
PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I
LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
1. Dạng tồng quát của hệ đối xứng loại
I:
Định nghĩa:
Hệ đối xứng loại I là hệ chứa 2 ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho nhau
thì hệ phương trình không thay đổi.
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{f\left( {x,y} \right) = 0} \\
{g\left( {x,y} \right) = 0}
\end{array}} \right.$ , trong đó $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{f\left( {x,y} \right) = f\left( {y,x} \right)} \\
{g\left( {x,y} \right) = g\left( {y,x} \right)}
\end{array}} \right.$
Phương pháp giải tổng quát:
i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)
ii) Bước 2: Đặt S = x + y; P = xy (với S2 $ \geqslant $4P) .
Khi đó, ta đưa hệ về hệ mới chứa S,P.
iii) Bước 3: Giải hệ mới tìm S,P. Chọn S,P thỏa mãn S2 $ \geqslant $4P.
iiii) Bước 4: Với S,P tìm được thì x,y là nghiệm của phương trình:
X2 –
SX + P = 0 ( định lý Viét đảo)
Chú ý:
i) Cần nhớ:
$\begin{array}
{x^2} + {y^2} = {S^2} - 2P \\
{x^3} + {y^3} = {S^3} - 3SP \\
\end{array} $
…
ii) Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{u = u\left( x \right)} \\
{v = v\left( x \right)}
\end{array}} \right.$ và $\left\{
{\begin{array}{*{20}{c}}
{S = u + v} \\
{P = uv}
\end{array}} \right.$
iii) Có những hệ phương trình trở thành hệ đối xứng loại I sau khi ta đặt ẩn phụ.
2. Một số ví dụ minh họa:
Ví dụ 1:
Gải hệ phương trình sau:
$\left\{ \begin{array}
{x^2} + {y^2} + xy = 7 \\
{x^2} + {y^2} + x + y = 8 \\
\end{array} \right.$ (1)
Giải:
Đặt: $\left\{ \begin{array}
S = x + y \\
P = xy \\
\end{array} \right.$ , với S2 $ \geqslant $4P.
Khi đó, hệ (1) trở thành:
$\begin{array}
\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{S^2} - P = 7} \\
{{S^2} - 2P + S = 8}
\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{P = {S^2} - 7} \\
{{S^2} - 2\left( {{S^2} - 7} \right) + S = 8}
\end{array}} \right. \\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{P = {S^2} - 7} \\
{{S^2} - S - 6 = 0}
\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{P = {S^2} - 7} \\
{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{S = 3} \\
{S = - 2}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right. \\
\end{array} $
Với: $S = 3 \Rightarrow P = 2$.
Khi đó, x và y là nghiệm của phương trình: ${X^2} - 3X + 2 = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{X = 1} \\
{X = 2}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
\left\{ \begin{array}
x = 1 \\
y = 2 \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}
x = 2 \\
y = 1 \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right.$
Với: $S = - 2 \Rightarrow P = - 3$.
Khi đó, x và y là ngiệm của phương trình:${X^2} + 2X - 3 = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{X = 1} \\
{X = - 3}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1} \\
{y = - 3}
\end{array}} \right.} \\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = - 3} \\
{y = 1}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.$
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm
(x,y) = (1;2), (2;1), (1;–3), (–3;1).
Ví dụ 2:
Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}
x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5 \\
{x^2} + {y^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} = 9 \\
\end{array} \right.$
Giải:
Đặt: $\left\{ \begin{array}
u = x + \frac{1}{x} \\
v = y + \frac{1}{y} \\
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}
{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {u^2} - 2 \\
{y^2} + \frac{1}{{{y^2}}} = {v^2} - 2 \\
\end{array} \right.$
Khi đó, hệ (1) trở thành:
$\begin{array}
\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{u + v = 5} \\
{{u^2} + {v^2} = 13}
\end{array}} \right. \\
\Leftrightarrow {\text{ }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{u + v = 5} \\
{{{\left( {u + v} \right)}^2} - 2uv = 13}
\end{array}} \right. \\
\Leftrightarrow {\text{ }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{u + v = 5} \\
{uv = 6}
\end{array}} \right. \\
\end{array} $
$ \Rightarrow $ u, v là nghiệm của phương trình: X2 – 5X + 6
= 0
$\begin{array}
\Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{X = 3} \\
{X = 2}
\end{array}} \right. \\
\Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{u = 2} \\
{v = 3}
\end{array}} \right.} \\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{u = 3} \\
{v = 2}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right. \\
\end{array} $
Trường hợp 1: u = 2; v = 3
$\begin{array}
\Rightarrow \,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + \frac{1}{x} = 2} \\
{y + \frac{1}{y} = 3}
\end{array}} \right. \\
\Leftrightarrow {\text{ }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1} \\
{y = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}}
\end{array}} \right.\,\,\, \vee \,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1} \\
{y = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}}
\end{array}} \right. \\
\end{array} $
Trường hợp 2: u = 3; v = 2
$\begin{array}
\Rightarrow \,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + \frac{1}{x} = 3} \\
{y + \frac{1}{y} = 2}
\end{array}} \right. \\
\Leftrightarrow \,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \\
{y = 1}
\end{array}} \right.\,\,\, \vee \,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \\
{y = 1}
\end{array}} \right. \\
\end{array} $
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm (x,y) là:
$\left( {1;\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right),{\text{ }}\left( {1;\frac{{3
- \sqrt 5 }}{2}} \right),{\text{ }}\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2};1}
\right),{\text{ }}\left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2};1} \right)$.
3. Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại I có
nghiệm:
Phương pháp giải tổng quát:
i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
ii) Bước 2: Đặt S = x + y; P = xy với điều kiện của S,P và S2 $ \geqslant $4P
(*).
iii) Bước 3: Thay x,y bởi S,P vào hệ phương trình.
Giải hệ tìm S,P theo m, rồi từ điều kiện (*) tìm m (với m là tham số)
Ví dụ 3:
Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sqrt {x - 4} + \sqrt {y - 1} = 4} \\
{x + y = 3m}
\end{array}} \right.\,\,\,\left( 1 \right)$
Giải:
Đặt: $\left\{ \begin{array}
u = \sqrt {x - 4} {\text{ }} \geqslant {\text{0}} \\
v = \sqrt {y - 1} {\text{ }} \geqslant {\text{0}} \\
\end{array} \right.$
Khi đó, hệ (1) trở thành:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{u + v = 4} \\
{{u^2} + {v^2} = 3m - 5}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow $
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{u + v = 4} \\
{uv = \frac{{21 - 3m}}{2}}
\end{array}} \right.$
Suy ra u,v là nghiệm (không âm) của phương trình:
${X^2} - 4X + \frac{{21 - 3m}}{2} = 0{\text{ (*)}}$
Theo đề, hệ (1) có nghiệm$ \Leftrightarrow $Pt (*) có 2 nghiệm không âm.
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\Delta ' \geqslant 0} \\
{P \geqslant 0} \\
{S \geqslant 0}
\end{array}} \right.{\text{ }}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\left\{
{\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{3m - 13}}{2} \geqslant 0} \\
{\frac{{21 - 3m}}{2} \geqslant 0}
\end{array}} \right.{\text{ }} \Leftrightarrow \,\,{\text{ }}\frac{{13}}{3}
\leqslant m \leqslant 7.$
Vậy $\frac{{13}}{3} \leqslant m \leqslant 7$ là giá trị cần tìm.
Ví dụ 4:
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sqrt x + \sqrt y = 1} \\
{x\sqrt x + y\sqrt y = 1 - 3m}
\end{array}{\text{ (1)}}} \right.$
Giải:
Điều kiện: $x \geqslant 0;{\text{ y}} \geqslant {\text{0}}$
Khi đó:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sqrt x + \sqrt y = 1} \\
{x\sqrt x + y\sqrt y = 1 - 3m}
\end{array}{\text{ }} \Leftrightarrow \,\,\,{\text{ }}\left\{
{\begin{array}{*{20}{c}}
{\sqrt x + \sqrt y = 1} \\
{{{\left( {\sqrt x } \right)}^3} + {{\left( {\sqrt y } \right)}^3} = 1 -
3m}
\end{array}} \right.} \right.$
Đặt: $S = \sqrt x + \sqrt y
\geqslant 0;{\text{ P = }}\sqrt {xy} \geqslant 0{\text{
}}\left( {{S^2} \geqslant 4P} \right)$
Hệ phương trình trở thành:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{S = 1} \\
{{S^3} - 3SP = 1 - 3m}
\end{array}} \right.{\text{ }} \Leftrightarrow \,\,\,{\text{
}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{S = 1} \\
{P = m}
\end{array}} \right.$
Hệ (1) có nghiệm thực
$ \Leftrightarrow {\text{ }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{S^2} \geqslant 4P} \\
{P \geqslant 0} \\
{S \geqslant 0}
\end{array}} \right.{\text{ }} \Leftrightarrow {\text{
}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 \geqslant 4m} \\
{m \geqslant 0}
\end{array}} \right.{\text{ }} \Leftrightarrow {\text{ 0}}
\leqslant {\text{m}} \leqslant \frac{1}{4}$
Vậy ${\text{0}} \leqslant m \leqslant \frac{1}{4}$ là giá trị cần tìm.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1:
Giải hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + y + \sqrt {xy} = 19} \\
{{x^2} + {y^2} + xy = 133}
\end{array}} \right.$.
Bài 2:
Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}
x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 4 \\
{x^2} + {y^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} = 4 \\
\end{array} \right.$.
Bài 3:
Tìm m để hệ phương trình có đúng 2 nghiệm thực phân biệt.
$\left\{ \begin{array}
{x^2} + {y^2} = 2(1 + m) \\
{(x + y)^2} = 4 \\
\end{array} \right.$
Bài 4:
Tìm m để hệ phương trình sau có nhgiệm thực:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^2} + {y^2} + 4x + 4y = 10} \\
{xy(x + 4)(y + 4) = m}
\end{array}} \right.{\text{ }}$
Bài 5:
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thực x > 0, y > 0:
$\left\{ \begin{array}
x + xy + y = m + 1 \\
{x^2}y + x{y^2} = m \\
\end{array} \right.$