Cần chứng minh: $abc\geq(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)$Đặt $a+b-c=x;a-b+c=y;-a+b+c=z$
Nên, $x+y=2a;y+z=2c;z+x=2b$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $(x+y)(y+z)(z+x)\geq8abc$
Mà $(x+y)(y+z)(z+x)\geq2.\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}=8xyz$
Nên $abc\geq(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)=(1-2a)(1-2b)(1-2c)$ (Do a+b+c=1)
Nên $abc\geq1+4ab+4bc+4ca-2a-2b-2c-8abc$
$\Leftrightarrow 9abc+1\geq4ab+4bc+4ca $(Do a+b+c=1) (1)
Mà $3ab+3bc+3ca\leq(a+b+c)^2=1$(Hằng đẳng thức) (2)
Từ (1) và (2) , ta có: $9abc+2\geq7ab+7bc+7ca$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow$ $a=b=c=\frac{1}{3}$