Giả sử tồn tại trường hợp mà không có số nào thỏa mãn với yêu cầu đề bài.Ta có:
-Số $5$ chắc chắn không là hiệu của $2$ số nào cả. $(1)$
-Số $4$ không thể ở nhóm có $1$ và $5$ cùng tồn tại. $(2)$
-Số $3$ không thể ở nhóm có $1$ và $4$, $2$ và $5$ cùng tồn tại. $(3)$
-Số $2$ không thể ở nhóm có số $4$, $1$ và $3$, $3$ và $5$ cùng tồn tại. $(4)$
-Số $1$ không thể ở nhóm có số $2$, $3$ và $4$, $4$ và $5$ cùng tồn tại. $(5)$
Không làm mất tính tổng quát, ta gọi $2$ nhóm là $I$ và $II$ với $5$ được xếp vào nhóm $I$ (vì $(1)$)
-Nếu thêm $1$ vào nhóm $I\Rightarrow $Chỉ có thể thêm tiếp $3$ vào nhóm $I$ . (vì $(2)$ và $(5)$)
$\Rightarrow $ Nhóm $II$ buộc phải có $2,4$ (loại vì $(4)$)
-Nếu thêm $2$ vào nhóm $I\Rightarrow $Không thêm được số nào vào nhóm $I$. (vì $(3),(4)$ và $(5)$)
$\Rightarrow $ Nhóm $II$ có $1,3,4$ (loại vì $(3)$).
-Nếu thêm $3$ vào nhóm $I\Rightarrow $Chỉ có thể thêm tiếp $1$ hoặc $4$ vào nhóm $I$. (vì $(3)$)
+Nếu thêm $4\Rightarrow $ nhóm $II$ buộc phải có $1,2$ (loại vì $(5)$)
+Nếu không thêm $4\Rightarrow $ nhóm $II$ buộc phải có $2,4$ (loại vì $(4)$)
-Nếu thêm $4$ vào nhóm $I\Rightarrow $ Chỉ có thể thêm tiếp $3$ (vì $(4)$ và $(2)$)
$\Rightarrow $ Nhóm $II$ buộc phải có $1,2$ (loại vì $(5)$).
-Nếu không thêm số nào $\Rightarrow $ Nhóm $II$ có $1,2,3,4$ (loại vì $(5)$)
Vậy không có trường hợp nào thỏa mãn $\Rightarrow $ Giả sử sai $\Rightarrow $ Ta có ĐPCM.