Dễ thấy:$A=\frac{25}{3\sqrt[3]{4.(ab+bc+ca)}} \geq \frac{25}{ab+bc+ca+2}$
Xét $B=\frac{a+1}{c+1} + \frac{c+1}{b+1} + \frac{b+1}{a+1}$
$= \frac{(a+1)^2.(b+1)+(c+1)^2.(a+1) + (b+1)^2.(c+1)}{abc+ab+bc+ca+a+b+c+1}$
$= \frac{(a^2+2a+1)(b+1) + (b^2+2b+1)(c+1) + (c^2+2c+1)(a+1)}{abc+ab+bc+ca+4}$
Có: $abc\geq0$. Nên:
$A=B\leq \frac{a^2.b+b^2.c+c^2.a+a^2+b^2+2ab+2bc+2ca+c^2+3a+3b+3c+3}{ab+bc+ca+4}$
$=\frac{a^2.b+b^2.c+c^2.a+(a+b+c)^2+9+3}{ab+bc+ca+4}$
$=\frac{a^2.b+b^2.c+c^2.a+21}{ab+bc+ca+4}$
Xét:$a^2.b+b^2.c+c^2.a \leq a^2.b+b^2.c+c^2.a+abc$
Giả sử $b$ là số nằm giữa $a$ và $c$. Ta có:
$(b-a)(b-c)\leq0 \Leftrightarrow b^2+ac \leq ab + bc$
$\Leftrightarrow b^2.c + c^2.a \leq abc + c^2.b$
Nên $ a^2.b+b^2.c+c^2.a +abc $
$\leq a^2.b + 2abc + c^2.b = b(a+c)^2 $
$= \frac{1}{2}.[2b.(a+c)(a+c)] $
$\leq \frac{1}{2}.\frac{(2a+2b+2c)^3}{27}$
$\leq4$
Vậy $B\leq \frac{25}{ab+bc+ca+4}$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow$ $a=2;b=1;c=0$ và các hoán vị của $a;b;c$