Từ giải thiết x + y + z = 0 => x + y = -z$<=> ( x + y )^3 = (-c)^3$
$<=> x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 = -c^3$
$<=> x^3 + y^3 + z^3 = -3xy ( x+y) $
$<=> x^3 + y^3 + z^3 = 3xzy$ (1)
Nhận cả 2 vế của (1 ) với $x^2 + y^2 + z^2$ ta được
$3xyz( x^2 + y^2 + z^2 ) $ Do x + y + z = 0
=$ ( x^2 + y^2 + z^2 ) ( x^3 + y^3 + z^3 )$
= $x^5 + x^3 ( y^2 + z^2) + y^5 + y^3 ( x^2 + z^2 ) + z^5 + z^3 ( x^2 + y^2 )$ (2)
=> y + z = -x => $( y+z)^2 = x^2 $ Tương tự ta có :
<=> $y^2 + z^2 = x^2 - 2yz$
$x^2 + y^2 = z^2 - 2xy $ ; $x^2 + z^2 = y^2 - 2xz$
Thay vào (2) ta được
$3xyz ( x^2 + y^2 + z^2 ) = x^5 + y^5 + z^5 + x^3 ( x^2 - 2yz ) + y^3 ( y^2 - 2xz ) + z^3 ( z^2 - 2xy )$
= $2 ( x^5 + y^5 + z^5 ) - 2xyz ( x^2 + y^2 + z^2 )$
<=> $2( x^5 + y^5 + z^5 ) $
= $5xyz ( x^2 + y^2 + z^2 ) $( đpcm)