Điều kiện để (Cm) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt A,B,C,D là phương trình x4−2(m−1)x2+3m−9=0 (∗) có bốn nghiệm phân biệt, tức là m là nghiệm của hệ {(m−1)2−(3m−9)>02(m−1)>03m−9>0,
hay
{m2−5m+10>0m>1m>3.
Giải hệ này và được kết quả m>3.
Khi đó (∗) có hai nghiệm dương đối nhau với hai nghiệm âm; từ đề bài suy ra xD=−xA và xB=−xC với xA<0,xC>0.
Từ định lý Vi-et mở rộng suy ra
{xAxB+xAxC+xAxD+xBxC+xBxD+xCxD=−2(m−1)xAxBxCxD=3m−9,
hay
{x2A+x2C=2(m−1)x2Ax2C=3m−9,
suy ra
{x2A+x2C=2(m−1)xAxC=−√3m−9.
Suy ra
|xC−xA|=√x2A+x2C−2xAxC=√2(m−1)+2√3m−9.
Dễ thấy rằng A(xA;0) và C(xC;0). Từ đó suy ra
AC=|xC−xA|=√2(m−1)+2√3m−9;
d(M,AC)=d(M,Ox)=1.
Suy ra
SΔMAC=12.AC.d(M,AC)=√m−1+√3m−92.
Từ đó, điều kiện để SΔMAC=2 là m phải là nghiệm của phương trình
√m−1+√3m−92=2 (∗∗).
Ta có:
(∗∗)⇔√3m−9=9−m⇔{m≤9m2−21m+90=0⇔{m≤9m=6∨m=15⇔m=6.
Giá trị m=6 thỏa mãn điều kiện m>3. Đây cũng là giá trị duy nhất thỏa mãn điều kiện đề bài.