Điều kiện để $(C_{m})$ cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt $A,B,C,D$ là phương trình $x^4-2(m-1)x^2+3m-9=0$ $(*)$ có bốn nghiệm phân biệt, tức là $m$ là nghiệm của hệ $\begin{cases}(m-1)^2-(3m-9)>0 \\ 2(m-1)>0\\3m-9>0 \end{cases}$,
hay
$\begin{cases}m^2-5m+10>0 \\ m>1\\m>3 \end{cases}$.
Giải hệ này và được kết quả $m>3$.
Khi đó $(*)$ có hai nghiệm dương đối nhau với hai nghiệm âm; từ đề bài suy ra $x_{D}=-x_{A}$ và $x_{B}=-x_{C}$ với $x_{A}<0,x_{C}>0$.
Từ định lý Vi-et mở rộng suy ra
$\begin{cases}x_{A}x_{B}+x_{A}x_{C}+x_{A}x_{D}+x_{B}x_{C}+x_{B}x_{D}+x_{C}x_{D}=-2(m-1) \\ x_{A}x_{B}x_{C}x_{D}=3m-9\end{cases}$,
hay
$\begin{cases}x^{2}_{A}+x^{2}_{C}=2(m-1) \\ x^{2}_{A}x^{2}_{C}=3m-9\end{cases}$,
suy ra
$\begin{cases}x^{2}_{A}+x^{2}_{C}=2(m-1) \\ x_{A}x_{C}=-\sqrt{3m-9}\end{cases}$.
Suy ra
$|x_{C}-x_{A}|=\sqrt{x^{2}_{A}+x^{2}_{C}-2x_{A}x_{C}}=\sqrt{2(m-1)+2\sqrt{3m-9}}$.
Dễ thấy rằng $A(x_{A};0)$ và $C(x_{C};0)$. Từ đó suy ra
$AC=|x_{C}-x_{A}|=\sqrt{2(m-1)+2\sqrt{3m-9}}$;
$d(M,AC)=d(M,Ox)=1$.
Suy ra
$S_{\Delta MAC}=\frac{1}{2}.AC.d(M,AC)=\sqrt{\frac{m-1+\sqrt{3m-9}}{2}}$.
Từ đó, điều kiện để $S_{\Delta MAC}=2$ là $m$ phải là nghiệm của phương trình
$\sqrt{\frac{m-1+\sqrt{3m-9}}{2}}=2$ $(**)$.
Ta có:
$(**)\Leftrightarrow \sqrt{3m-9}=9-m\Leftrightarrow \begin{cases}m\leq 9\\ m^2-21m+90=0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m\leq 9\\ m=6\vee m=15\end{cases}\Leftrightarrow m=6$.
Giá trị $m=6$ thỏa mãn điều kiện $m>3$. Đây cũng là giá trị duy nhất thỏa mãn điều kiện đề bài.