mọi người giúp e vs ạ,.....

Question

Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn $x^2 +y^2+z^2=3.$

Tìm $:max P=xy+yz+xz+\frac{5}{x+y+z}$

score 3 · Answer 1

Theo giả thiết và đk xác định của a,b,c$\Rightarrow xy+yz+zx>0$

$Do (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx=3+2xy+2yz+2zx>3$

$\Leftrightarrow x+y+z>\sqrt{3}$

Mặt khác $x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}\Rightarrow (x+y+z)^2\leq 3(x^2+y^2+z^2)\leq 9$

$\Rightarrow x+y+z\leq 3$

Đặt $t=x+y+z$ thì $t\in(\sqrt{3};3]$ và $xy+yz+zx=\frac{t^2-3}{2}$

Bài toán trở thành :Tìm GTLN của biểu thức $f(t)=\frac{t^2-3}{2} +\frac{5}{t} với t\in (\sqrt{3};3]$

Ta có

$f'(t)=t-\frac{5}{t^2}=\frac{t^3-5}{t};f(t)=0\Leftrightarrow t=\sqrt[3]{5}\notin (\sqrt{3};3]$

Lập bảng biến thiên của $f(t)$ trên $(\sqrt{3};3]$ ta suy ra MAX $P=f(3)=14/3$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1

ko có j-)) – tranquynhat2002 07-07-17 06:56 AM

cảm ơn bạn – Nguyễn Tuyết Nhi 06-07-17 05:37 PM

score 1 · Answer 2

Ta có$:\frac{(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2}{2}+\frac{5}{x+y+z}=\frac{(x+y+z)^2}{2}-\frac{3}{2}+\frac{5}{x+y+z}$

Đặt $t=x+y+z\Rightarrow $bài toán trở thành tìm$: MaxA=t^2+\frac{10}{t}$

Từ$:x^2+y^2+z^2\leq(x+y+z)^2\leq3(x^2+y^2+z^2)\Rightarrow \sqrt{3}\leq t\leq 3,nên:$

$t^2+\frac{10}{t}-\frac{37}{3}=\frac{(t-3)(3t^2+9t-10)}{3t}\leq 0\Rightarrow A\leq \frac{37}{3}$

lại có$:P=\frac{A}{2}-\frac{3}{2}\Rightarrow P\leq \frac{14}{3}$

Dầu = xảy ra khi x=y=z=1

cảm ơn nhiều ạ...cách trình bày rất dễ hiểu... – Nguyễn Tuyết Nhi 09-07-17 02:54 AM

2 Đáp án