$a)$ Ta sử dụng một bổ đề rất hay trong hình phẳng (dễ dàng chứng minh):
Cho tam giác $\rm ABC$ có $\rm M,N \in AC,AB$ và $\rm MN$ cắt trung tuyến $\rm AD\text{ ở } P$. Khi đó ta có:
$$\rm \dfrac{AB}{AN}+\dfrac{AC}{AM}=2.\dfrac{AD}{AP}$$
Áp dụng 2 lần trong tam giác $\rm ABD$, ta được $\rm \dfrac{AB}{AM}+\dfrac{2AD}{AN}=3.\dfrac{AE}{AF}$
Với $\rm E\in BD$ sao cho $\rm 2\vec{DE}=\vec{EB}$ và $\rm F$ là giao điểm của $\rm AE \& MN$
$\Rightarrow \rm \frac{AE}{AF}=\frac 43$
Hơn nữa $\rm E,A$ cố định, do đó $\rm F$ cố định suy ra dpcm
b) Dễ thấy $\rm \frac{V'}{V}=\dfrac{S_{MBCDN}}{S_{ABCD}} $
Do đó ta chỉ cần chứng minh
$\frac 23 \le \rm \dfrac{S_{MBCDN}}{S_{ABCD}} \le \frac 34\Leftrightarrow \frac 14 \le \frac{S_{AMN}}{S_{ABCD}} \le \frac 13\Leftrightarrow \frac{1}{2} \le \frac{S_{AMN}}{S_{ABD}} \le \frac 23$
$\Leftrightarrow \rm \frac 12 \le \frac{AM}{AD}.\frac{AB}{AM} \le \frac 23$
Đặt $x= \frac{AD}{AN},y=\frac{AB}{AM}$, khi đó $x,y \ge 1$ và $2x+y=4$
Ta cần chứng minh $\frac 32 \le xy \le 2$
Tới đây có thể rút thế, chặn 2 đầu của $x$ hoặc $y$ và khảo sát hàm số.
Hoặc chọn các cách sau
Ta có $xy=\frac{(2x+y)^2-(2x-y)^2}{16} \le \frac{(2x+y)^2}{8}=2$
Và $xy-\frac 32=(y-1)\left(x-\frac 12 \right) \ge 0$
Mặc dù mang vẻ ngoài là hhkg nhưng thật ra là 2 câu đại số và hình phẳng trá hình rất hay.