Điều kiện của hệ là $x>0$ và $y>0$.
Đặt $u=x^2$ và $v=y^3$ với $u,v>0$. Hệ cần giải trở thành
$\begin{cases}u+v=a \\ log_{3}u.log_{2}v=6\end{cases}$.
Nhân hai vế của phương trình cuối với $ln3.ln2$ và dùng công thức đổi cơ số thì được hệ
$\begin{cases}u+v=a \\ lnu.lnv=6ln3.ln2\end{cases}$.
Sau bước thực hiện phép thế thì được
$lnu.ln(a-u)-6ln3.ln2=0$ $(*)$.
Nhận thấy rằng số nghiệm của hệ ban đầu chính là số nghiệm của $(*)$. Vì $a\geq17$ nên $(*)$ không có
nghiệm trên $(0;1)$ và $(a-1;a)$. Do đó, chỉ cần giải $(*)$ trên $[1;a-1]$.
Xét hàm số $f(u)=lnu.ln(a-u)-6ln3.ln2,\forall u\in [1;a-1]$. Khi đó có kết quả
$f'(u)=\frac{(a-u)ln(a-u)-ulnu}{u(a-u)},\forall u\in (1;a-1)$.
Suy ra $f'(u)=0$ khi và chỉ khi $(a-u)ln(a-u)=ulnu$ $(**)$ với $u\in (1;a-1)$.
Xét hàm số $g(t)=t.lnt, \forall t \in (1;a-1)$. Khi đó có kết quả
$g'(t)=lnt+1>0,\forall t \in(1;a-1)$.
Suy ra $g$ đồng biến trên $(1;a-1)$. Từ kết quả này cho thấy $(**)$ tương đương với $a-u=u$, hay
$u=\frac{a}{2}$ và nghiệm này thuộc $(1;a-1)$. Suy ra $f$ có nhiều nhất một cực trị trên $[1;a-1]$. Suy ra
$(*)$ có nhiều nhất hai nghiệm trên $[1;a-1]$.
Mặt khác, khi kiểm tra thì thấy $f(1).f(\frac{a}{2})<0$ và $f(\frac{a}{2}).f(a-1)<0$; vì $f$ liên tục trên $[1;a-1]$
nên $f(u)=0$ có ít nhất hai nghiệm trên $[1;a-1]$.
Thành thử, $f(u)=0$ có đúng hai nghiệm, hay $(*)$ có đúng hai nghiệm. Suy ra hệ ban
đầu có đúng hai nghiệm. $\Delta$