$\sum \frac{1}{(p-a)^{2}}\geq \frac{1}{r^{2}}$

Question

chứng minh với mọi abc thuoojjc tam giác :

$$\sum \frac{1}{(p-a)^{2}}\geq \frac{1}{r^{2}}$$

score 3 · Answer 1

Trước hết:

$S=pr \Rightarrow r=\frac{S}{p}\Rightarrow r^{2}=\frac{S^{2}}{p^{2}}\Rightarrow \frac{1}{r^{2}}=\frac{p^{2}}{S^{2}}$

Mặt Khác

$S^{2}=p(p-a)(p-b)(p-c)$ ( Herong)

$\Rightarrow \frac{1}{r^{2}}=\frac{p}{(p-a)(p-b)(p-c)}$ , Mà

$(p-a)+(p-b)+(p-c)=3p-(a+b+c)=p$

Đặt

$x=p-a,y=p-b,z=p-c$ Khi đó

Ta cần C/m

$\sum\frac{1}{(p-a)^{2}}\geqslant\frac{1}{r^{2}}\Leftrightarrow \frac{1}{x^{2}} +\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}\geqslant \frac{x+y+z}{xyz} (*)$

$(*) \Leftrightarrow \frac{x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}}{x^{2}y^{2}z^{2}}\geqslant \frac{x+y+z}{xyz}$

Tự suy luận giải tiếp

1 Đáp án