(18)

Question

Cho

$a,b,c \ge 0$ và

$a+b+c=3$ . Chứng minh :

$a(a+b)^2+b(b+c)^2+c(c+a)^2 \ge 12$

๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓ · Answer 1 · 8/7/2016 9:39:40 PM

k mất tính tổng quát, giả sử b nằm giữa a và c

$\Rightarrow c(b-a)(b-c)\le0$

$\Leftrightarrow b^2c+ac^2\le abc+bc^2$

$\Leftrightarrow A=a^2b+b^2c+c^2a+abc\le b(c+a)^2\le\frac{4}{27}(a+b+c)^3=4$

Thiết lập tương tự với

$a(b-a)(b-c)=\le0$ ta được

$B=ac^2+ba^2+cb^2+abc\le4$

Ngoài ra ta có

$C=abc\le\frac{(a+b+c)^3}{27}=1$

Ta có

$VT+15\ge VT+A+2B+3C=(a+b+c)^3=27$

$\Rightarrow VT\ge12$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

$a=b=c=1$

Sửa 07-08-16 09:39 PM

๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓
1

10M 1M

Trả lời 07-08-16 09:23 PM

๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓
1

10M 1M

à ừ :v quên k ghi :v – ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓ 07-08-16 09:39 PM

ở đây chắc C=abc nhỉ :)) – tran85295 07-08-16 09:37 PM

1 Đáp án