Kí hiệu S là diện tích tam giác ABC ; $S_{1};S_{2};S_{3}$ lần lượt là diện tích tam giác BHC; AHC; ABH
Ta có: $\frac{AA1}{HA1}=\frac{S}{S1}$ ; $\frac{BB1}{HB1}=\frac{S}{S2}$ ; $\frac{CC1}{HC1}=\frac{S}{S3}$Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $\frac{S}{S1}+\frac{S}{S2}+\frac{S}{S3}\geq 9$
Do $S1+S2+S3=S\Rightarrow \frac{S1}{S}+\frac{S2}{S}+\frac{S3}{S}=1$
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có:
$\frac{S}{S1}+\frac{S}{S2}+\frac{S}{S3}=(\frac{S1}{S}+\frac{S2}{S}+\frac{S3}{S})(\frac{S}{S1}+\frac{S}{S2}+\frac{S}{S3})\geq 9$
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu bằng khi S1=S2=S3 hay tam giác ABC đều