DH 3

Question

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $4(a^3+b^3)+c^3=2(a+b+c)(ac+bc-2)$ .

Tìm GTLN của biểu thức: $P=\frac{2a^2}{3a^2+b^2+2a(c+2)}+\frac{b+c}{a+b+c+2}+\frac{(a+b)^2+c^2}{16}$ .

Nguyễn Nhung · Answer 1 · 8/4/2016 5:02:39 PM

ta có

$\frac{1}{4}(a+b+c)^{3} \leq (a+b)^{3}+c^{3} \leq 4(a^{3}+b^{3})+c^{3} \leq 2(a+b+c)(\frac{(a+b+c)^{2}}{4}-2$

$\Rightarrow a+b+c\geq 4$

$\frac{2a^{2}}{3a^{2}+b^{2}+2a(c+2)}=\frac{a}{a+c+2+\frac{b^{2}}{2a}+\frac{a}{2}}\leq \frac{a}{a+c+2+2\sqrt{\frac{b^{2}}{2a}\frac{a}{2}}}=\frac{a}{a+b+c+2}$

có

$(a+b)^{2}+c^{2} \geq \frac{1}{2}(a+b+c)^{2}$

khi đó P

$\leq \frac{a+b+c}{a+b+c+2}-\frac{(a+b+c)^{2}}{32}$ Đặt

$t=a+b+c \geq4$

$\Rightarrow P \leq \frac{t}{t+2} -\frac{t^{2}}{32}=f(t)$

$f'(t)=\frac{2}{(t+2)^{2}}-\frac{t}{16}<0 ,\forall t\geq4$

$\Rightarrow f(t) nb/ \left[ 4{;} +vô cùng\right]$

$\Rightarrow P \leq f(t) \leq f(4)=\frac{1}{6}$

dấu "="

$\Leftrightarrow a=b=1;c=2$

Hỏi	04-08-16 03:19 PM
Lượt xem	1664
Hoạt động	04-08-16 05:02 PM

DH 3

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

DH 3

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan