Do $x,y,z $ nguyên dương nên ta có: $x\geq 1$ ; $y\geq 1$ $\Leftrightarrow z=x+y+1\geq 3$ $\Rightarrow z\geq 3$Thay $1=z-x-y$ vào mẫu thức ta có :
$A=\frac{x^3}{(z-x)(x+y)}+\frac{y^3}{(z-y)(x+y)}+\frac{z^3}{(z-x)(z-y)}+\frac{14}{(z+1)\sqrt{(x+1)(y+1)}}$
Áp dụng Cô-si ta có:
$\frac{x^3}{(z-x)(x+y)}+\frac{z-x}{8}+\frac{x+y}{8}\geq \frac{3x}{4}$
$\frac{y^3}{(z-y)(x+y)}+\frac{z-y}{8}+\frac{x+y}{8}\geq \frac{3y}{4}$
$\frac{z^3}{(z-x)(z-y)}+\frac{8(z-x)}{27}+\frac{8(z-y)}{27}\geq \frac{27z}{4}$
$\frac{14}{(z+1)\sqrt{(x+1)(y+1)}}\geq \frac{28}{(z+1)^2}$ (Áp dụng Cô-si 2 số và giả thiết $x+y=z-1$)
Cộng lại theo vế và rút gọn ta có:
$VT\geq \frac{15z-16}{4}+\frac{28}{(z+1)^2}=\frac{23(z+1)}{8}+(\frac{7(z+1)}{16}+\frac{7(z+1)}{16}+\frac{28}{(z+1)^2})-\frac{31}{4}$
Lại áp dụng Cô-si 3 số ta có:
$VT\geq \frac{23(z+1)}{8}+3.\frac{7}{4}-\frac{31}{4}$
Mà $z\geq 3$ nên $VT\geq \frac{23(3+1)}{8}+\frac{21}{4}-\frac{31}{4}=9$
Vậy A đặt giá trị nhỏ nhất là 9 khi x=y=1 và z=3